Ponad dwa tygodnie minęło od ostatniej notki Statystyka i nocne zwidy. W międzyczasie trochę się obijałem, trochę szukałem, trochę czytałem. Obijanie wynikło z faktu, że sprawiłem sobie tableta (Lenovo Tab 3 A10-70F), no więc się trochę wplątałem w androidyzm. Eksperymentowałem. Kupić mi się udało tanio, dziś cena podskoczyła o 50%. Ale tablet jest mało popularny, próbowałem nauczyć się jak zrobić „root”. Prawie go nawet kompletnie zepsułem, ale udało się znaleźć i wgrać ROMy na których odżył. To było moje takie błądzenie losowe. Dwa tygodnie błądziłem losowo, no i wracam do punktu wyjścia.
W międzyczasie jednak trochę też rozmyślałem. Dostawałem też wiadomości od znajomych dopingujące mnie do kontynuacji tematu. No, wiem, wiem sam, że od kontynuacji nie ucieknę. Dopadnie mnie. Dopadła.
Wczoraj zadzwonił do mnie nawet stary znajomy, kolega po fachu, fizyk teoretyk, podesłał mi pracę Anderson, Spangler p.t. „Serial statistics. Is radioactive decay random?”, a dziś przysłał mi wykres z jego własnej symulacji procesu Poissona.
Czyli mam doping. Zatem wracam do tematu. Chcę naprawdę zrozumieć ten rozpad radioaktywny. Chcę zrozumieć co to jest proces losowy. Chcę rozumieć co ludzie piszą i dlaczego piszą tak a nie inaczej.
Tichy to wszystko wie, ale co mi z tego, że on wie, kiedy ja nie wiem?
Podstawowym narzędziem matematycznym, u podstaw matematycznego modelu rozpadu radioaktywnego, jest podobno proces Poissona. Już go opisywałem w poprzednich kilku notkach, ale Tichy mi wytykał, i słusznie, że mieszam terminologię. Postanowiłem zatem się douczyć.
W miarę douczania się, będę się tu moją nauką dzielił.
Wyguglowałem Poisson process axioms. No i trafiłem na wykład Prof. D. Joyce'a, Department of Mathematics and Computer Science, Clark University, p.t. „The Poisson process Math 217 Probability and Statistics”.
Spodobał mi się ten wykład, zatem zabieram się do powtórzenia co z niego zrozumiałem, w miarę własnymi słowami. Jak coś napiszę nie tak jak należy, mam nadzieję, że Tichy mnie poprawi.
Zaczyna się wykład tak:
W procesie Poissona zdarzenia zachodzą przypadkowo, rorzucone jednorodnie w czasie.
Hmm.... Pisze się „w procesie Poissona”. Słowo proces można rozumieć na dwa sposoby. Nawet na więcej. Bo znamy proces sądowy, znamy proces elektrolizy, ale jest też coś co się nazywa „procesem losowym” lub „procesem stochastycznym” - i to jest coś co ma ścisłą definicję matematyczną. Według Wikipedii:
Proces stochastyczny – rodzina zmiennych losowych określonych na pewnej przestrzeni probabilistycznej o wartościach w pewnej przestrzeni mierzalnej.
Dalej jest uściślenie:
Na razie jednak się tym nie przejmujmy, zobaczmy co autor miał na myśli. Pisze nasz autor dalej, że Poisson analizował swój proces używając aksjomatów, i my zrobimy podobnie. To mi się podoba. Aksjomaty lubię – tego właśnie szukałem.
Są trzy aksjomaty
Aksjomat 1) Ilości zdarzeń zachodzących w dwóch rozłącznych przedziałach czasowych są niezależne.
Aksjomat 2) Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia w przedziale czasowym [a,a+h] o małej długości h jest w przybliżeniu proporcjonalne do h, ze współczynnikiem proporcjonalności λ . Dokładniej:
lim h→ 0 P(zdarzenia w [a,a+h])/h = λ
Aksjomat 3) Prawdopodobieństwo tego, że w małym przedziale czasu [t,t+h] zajdą dwa zdarzenia jest znacznie mniejsze od prawdopodobienśtwa, że zajdzie tam jedno zdarzenie. Dokładniej:
lim h→ 0 P(dwa lub więcej zdarzeń w [a,a+h])/P(jedno zdarzenie w [a,a+h]) = 0
W następnej notce pójdziemy śladami Poissona (prof. Joyce'a) wyciągając wnioski z powyższych aksjomatów. Tym samym stanie się jaśniejszy ich sens.
Tylko jeszcze o jakich zdarzeniach jest mowa? Na przykład mogą to byś trzęsienia ziemi. Albo pojawianie się samochodu w danym punkcie drugi. Albo przybycie nowego pacjenta w kolejce do lekarza. Albo: zarejestrowanie rozpadu próbki radioaktywnej przez licznik Geigera....
