Blog
Układ otwarty
Arkadiusz Jadczyk
Arkadiusz Jadczyk fizyk teoretyk
142 obserwujących 1163 notki 2790187 odsłon
Arkadiusz Jadczyk, 31 grudnia 2016 r.

Śledztwo w sprawie tajemniczych kręgów w Kwaternionowie

965 1 0 A A A

Śledztwem kieruje Major BJAB. Kto sprawy nie zna, musi przeczytać kilka poprzednich notek. Ja nadzoruję wykonywanie czynności operacyjnych. Sprawa kręgów nie jest nowa. Już w Makbecie Szekspira (podobno) wspomniano:

Dalej,dalej,siostry wiedźmy,
Czarodziejski krąg zawiedźmy

W naszym przypadku mamy nie jeden krąg, mamy ich nieskończenie wiele. W poprzedniej notce Niebieskie kwaterniony i zemsta Gargamela mamy zdanie:

Teraz tworzymy W(t),X(t),Y(t),Z(t). I z tego bierzemy rzut stereograficzny

x(t) = X(t)/(1-W(t)), y(t) = Y(t)/(1-W(t)), z(t) = Z(t)/(1-W(t))

I to jest punktem wyjścia dla śledztwa. Przede wszystkim formuły jakie otrzymujemy (wynik obliczeń według recepty tam podanej)

x(t) = 2 (x cos(t) + y sin(t)) / mianownik

y(t) = 2 (y cos(t) - x sin(t)) / mianownik

z(t) = (2 z cos(t) + (-1 + x2 + y2 + z2 ) sin(t)) / mianownik

gdzie

mianownik = 1 + x2 + y2 + z2 - (-1 + x2 + y2 + z2) cos(t) + 2 z sin(t)

Są to krzywe przechodzące, dla t=0, przez punkt (x,y,z). A co to za krzywe – to jest właśnie przedmiotem śledztwa.

Śledztwo należałoby rozpocząć od przesłuchania mianownika. Czy czasem się nie zerował, a jak się zerował, to kiedy i z kim? Jednak mianownik jest wredny i ma wysokie chody. Zatem odpuścimy ten etap śledztwa, może w końcu sprawę uda się doprowadzić do końca bez tego.

Przypomnijmy na czym skończyliśmy etap wstępny w notce W otoczeniu Azraela

Śledztwo interesuje się otoczeniem punktu x=y=z=0. W punkcie tym nasze pole ma wartość

V3P(0,0,0) = (0,0,-1/2)

Czyli strzałeczka skierowana w dół. Chcemy teraz przeprowadzić wizję lokalną i zobaczyć co znajdziemy w okolicach tego punktu. No to wybieramy do badania mały kawałek płaszczyzny z=0, Na przykład x,y zmieniają się od -1, do 1, zaś z=0.

Nie zarzucajmy przedwcześnie tej linii śledztwa. Zbadajmy najpierw krzywe przechodzące przez płaszczyznę z=0. Jeśli będziemy mieli szczęście (A czemuż byśmy szczęścia mieć nie mieli? Czy nie zasługujemy na nie?), to okaże się, że wszystkie krzywe tę płaszczyznę przecinają. Zatem w naszych formułach kładziemy z=0. Otrzymujemy

x(t) = 2 (x cos(t) + y sin(t)) / mianownik

y(t) = 2 (y cos(t) - x sin(t)) / mianownik

z(t) = (-1 + x2 + y2) sin(t)) / mianownik

gdzie

mianownik = 1 + x2 + y2 - (-1 + x2 + y2) cos(t)

Widać, że warto wprowadzić zmienne biegunowe r,φ

x = r cos(φ)

y = r sin(φ)

Wtedy

x(t) = 2r (cos(φ) cos(t) + sin(φ) sin(t)) / mianownik

y(t) = 2r (sin(φ) cos(t) - cos(φ) sin(t)) / mianownik

z(t) = (-1+ r2) sin(t)) / mianownik

mianownik = 1 + r2 + (1 - r2) cos(t)

Ze względu na delikatność sprawy, dalsza część dochodzenia musi pozostać utajniona. Można jednak podać ostateczne wyniki. Oto wyniki, które otrzymuje prowadzący śledztwo.

  • Wszystkie te krzywe to okręgi o skończonych promieniach. Wyjątkiem jest prosta, okrąg o nieskończonym promieniu, dla r=0. Jest to po prostu oś z.
  • Środek każdego z tych okręgów leży w płaszczyźnie z = 0.
  • Jeden okrąg leży całkowicie w płaszczyźnie z=0. Jest to okrąg r=1.
  • Każdy inny okrąg przecina płaszczyznę z=0 w dwóch punktach. Jednym w odległości r od zera, drugim w odległości 1/r od zera. Badając te okręgi wystarczy zatem zbadać te przechodzące przez punkty z r<1.

Okrąg przechodzący przez punkt r, φ ma środek w punkcie x0,y0 i promień r0 dane przez poniższe formuły (w kodzie Mathematica)

Śledztwo w sprawie tajemniczych kręgów w Kwaternionowie

Okrąg przechodzący przez punkt r, φ leży w płaszczyźnie prostopadłej do wektora jednostkowego o składowych n1,n2,n3 danych przez poniższe formuły (w kodzie Mathematica)

Śledztwo w sprawie tajemniczych kręgów w Kwaternionowie

Okrąg przechodzący przez punkt r, φ można otrzymać w następujący sposób:

1) Malujemy okrąg o promieniu r0 i środku w zerze płaszczyzny z=0. Przekształcamy każdy punkt tego okręgu działając macierzą obrotu T1 daną formułą (w kodzie Mathematica) :

Śledztwo w sprawie tajemniczych kręgów w Kwaternionowie

Wynik przesuwamy o (x0,y0,0).

A oto jak Mathematica maluje rodzinę tych okręgów dla r=0.2,0.4,0.6,0.8 i

φ zmieniającego się od 0 do 2π co π /10.

Śledztwo w sprawie tajemniczych kręgów w Kwaternionowie

Śledztwo w sprawie tajemniczych kręgów w Kwaternionowie

Jak na nowy rok – wyczyn to nie lada!

Pomyślności w Nowym Roku 2017 wszystkim moim Czytelnikom i Komentujacym!

Skomentuj Obserwuj notkę Napisz notkę Zgłoś nadużycie
NEWSY - TOP 5

O mnie

Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki.

Katalog SEO Katalog StronRanking i toplista blogуw i stron

Najlepsze Blogi Katalog blogów. Najlepsze blogi. world map hits counter
map counter

Św.Izydor z Sewilli (podobno patron informatyków):
"Ucz się tak, jakbyś miał żyć wiecznie -
żyj tak jakbyś miał umrzeć jutro" Życie jest religią.
Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem.
Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone.
Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić.
Dla tych ludzi świat zgaśnie.
Staną się dokładnie tym co dali życiu.
Staną się jedynie snem w "przeszłości".
Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości"



Lista wszystkich wpisów

 

Ostatnie notki

Obserwowane blogi

Tagi

Tematy w dziale Technologie