Jak mówi czarownik Gargamel: "Chyba brak ci niebieskiej klepki!" i „Zemsta jest rozkoszą czarowników”. No i się na mnie zemścił.
Namącił mi w głowie, a ja namąciłem w poprzedniej notce. Dobrze, że jest BJAB.
Zacznijmy od rzutu stereograficznego. Wzory które stosuję są jak te z Wikipedii, przy obrazku
Dodaję tylko jeden wymiar.
Przejście od W,X,Y,Z w czterech wymiarach do x,y,z w trzech wymiarach jest dane formułami
x = X/(1-W), y = Y/(1-W), z = Z/(1-W).
Biegun z którego rzutujemy to punkt W = 1,X = Y = Z = 0. Przejście odwrotne od x,y,z na sferę jest dane wzorami
W = (r2-1)/(r2+1), X = 2x/(r2+1), Y = 2y/(r2+1), Z = 2z/(r2+1),
gdzie r2 = x2 + y2 + z2.
W poprzedniej notce napisałem jednak
No, nieźle, jak na początek śledztwa to nieźle. By dostać x=y=z=0, musimy mieć X=Y=Z=0. Wtedy z konieczności (norma =1) musi być W=1, lub W = -1. To pierwsze jest niemożliwe, bowiem wtedy mianownik 1-W by się zerował. Zatem W=-1. Czyli nasza 3-wymiarowa sfera leży na 3-wymiarowej przestrzeni na którą rzutujemy. W ten sposób załatwiamy odpowiedź na pytanie „Na jaką trójprzestrzeń rzutujesz w rzucie stereograficznym (na styczną do sfery S^3, czy na przechodzącą przez jej środek)? „
Rozumowanie słuszne, wnioskowanie błędne. Z tego, że punkt (W,X,Y,Z)=(-1,0,0,0) po zrzutowaniu ma współrzędne (x,y,z)=(0,0,0) nie wynika jeszcze położenie sfery. Widać natomiast, że przy W=0 (x,y,z)=(X,Y,Z). Czyli to jest właśnie przestrzeń na którą rzutujemy. Nie ma wtedy żadnego zwężania czy rozciągania. Punkty sfery z W=0 leżą na 3-płaszczyźnie na którą rzutujemy.
Odczarowuję złe czary dalej. Zapytał BJAB w komentarzu pod poprzednią notką:
Mam nadzieję, że kiedyś wyjaśnisz skąd biorą się takie piękne rzeczy:
V3P(x,y,z) =(y-xz, -x-yz, (r2-1)/2)
Zabieram się do wyjaśniania. Przy okazji wyjaśni się, że we wzorze powyżej jest błąd.
Przypomnijmy, że pole wektorowe V3P otrzymaliśmy z mnożenia kwaternionów z prawej przez exp(kt) = cos t + k sin t. Niech zatem
q(t) = W(t)+iX(t)+jY(t)+kZ(t) = q exp(kt) = (W+iX+jY+kZ) (cos t + k sin t)
Wymnażając, korzystając z własności mnożenia kwaternionów, porównując lewą i prawą stronę dostajemy
W(t) =cos(t) W – sin(t) Z
X(t) = cos(t) X + sin(t) Y
Y(t) = cos(t) Y – sin(t) X
Z(t) = cos(t) Z + sin(t) W
Przy danym (W,X,Y,Z) to jest trajektoria przechodzące przez ten punkt przy t=0.
Bierzemy teraz punkt (x,y,z). Chcemy znaleźć trajektorię przechodzącą przez ten punkt, jako obraz stereograficzny trajektorii kwaternionowej danej równaniami wyżej. No to bierzemy W,X,Y,Z dane wzorami z rzutu stereograficznego:
W = (r2-1)/(r2+1), X = 2x/(r2+1), Y = 2y/(r2+1), Z = 2z/(r2+1)
Teraz tworzymy W(t),X(t),Y(t),Z(t). I z tego bierzemy rzut stereograficzny
x(t) = X(t)/(1-W(t)), y(t) = Y(t)/(1-W(t)), z(t) = Z(t)/(1-W(t))
By dostać pole wektorowe musimy obliczyć pochodne x'(0),y'(0),z'(0). Zauważmy, że mamy W'(0) = -Z, X'(0) = Y, Y'(0) = -X, Z'(0) = W. Trzeba teraz wziąć formułę na pochodną ilorazu. W ten sposób otrzymujemy (będę pisał X' etc zamiast X'(0))
x' = X'/(1-W) + W'X/(1-W)2 = y – zx
y' = Y'/(1-W) +W'Y/(1-W)2 = -x – zy
z' = Z'/(1-W)+W'Z/(1-W)^2 = W/(1-W)-z2
Ale skoro W = (r2-1)/(r2+1), to W/(1-W) = (r2-1)/2
Zatem
z' = (r2-1)/2 -z2.
W poprzedniej azraelowej notce zapomniałem odjąć z2. I stąd wszystko się zawaliło. Teraz już mamy jak trzeba. Możemy kontynuować.
Jednak bezpieczniej odłożyć rzecz do jutra. I tak zrobimy.
Komentarze