A bajka? No tak, zapomniałem. Bajka? Którą by tu wybrać? Może tę? Tak! Bajka o tym jak Św. Mikołaj przejeżdżał przez wieś Kwaternionowo. Posłuchaj. Pewnej grudniowej nocy wieś spała w najlepsze. Wiatr hulał między domami, huśtał gałęzie drzew i zapowiadał nadejście pierwszego śniegu. Jedynym mieszkańcem wsi, który nie przespał tego momentu był malutki kot Szaruś. Właśnie wtedy gdy zima zdecydowała się pokazać światu, Szaruś polował na jedną jedyną mysz, która uchowała się na kwaternionowych polach. Tylko na którym? Bo pól było sześć, trzy lewe i trzy prawe, a mysz była tylko jedna.
Myszka miała cztery rzeczywiste łapki X,Y,Z,W, a suma ich kwadratów dawała 1. Że myszy takie właśnie są, o tym Szaruś wiedział z kocich czytanek, z notek Portret spinora i Spin od środka. Przypomniał sobie Szaruś czego się wtedy nauczył:
Wektor stanu przedstawialiśmy na początku jako parę punktów na dwuwymiarowej sferze, doszliśmy w końcu do przedstawienia go przez cztery liczby X,Y,Z,W, których kwadraty dodają się do jedynki:
X2 +Y2 +Z2 +W2 = 1
Możemy te liczby zapisać przy pomocy współrzędnych kątowych: phi,theta,psi:
X = sin(phi/2)cos(psi)
Y = sin(phi/2)sin(psi)
Z = cos(phi/2) cos(psi+theta)
W = cos(phi/2) sin(psi+theta)
To ostatnie przedstawienie będzie jak znalazł dla programisty! Z trzech kątów tylko dwa przechodzą do „naszej przestrzeni: theta i phi. Kąt psi jest nieobserwowalny.
Zakres zmienności katów to:
phi od 0 do Pi. (szerokość geograficzna)
theta, psi od 0 do 2 Pi.
Wtedy szło co prawda o kwantowy wektor stanu dla spinu 1/2, jednak gdy idzie o łapki, to myszy na kwaternionowych polach mają je takie same jak te kwantowe wektory stanu – DNA są podobne, a ewolucja zbyt daleko się nie posunęła, ma swoje ślimacze tempo.
Szaruś tak sobie kombinował.
Łapkami myszy poruszają trzy kąty, phi, theta i psi. Jedynie kąt psi ma dostęp do wszystkich czterech łapek. Gdy psi zamienimy psi+t, zaczniemy zwiększać t, to wszystkie cztery łapki zaczną się poruszać. Mysz zatoczy krzywą.
Tu należy się uboczna uwaga, że koty uczą się różniczkować jeszcze w przedszkolu, i tam się dowiadują, że pochodną sinusa jest cosinus, zaś pochodną cosinusa jest minus sinus.
Szaruś zastąpił psi przez psi+t, zróżniczkował po t w t=0 (można też po prostu zwyczajnie zróżniczkować po psi - na to samo wyjdzie), i z krzywych zataczanych przez mysz dostał pole wektorowe V o składowych Vx,Vy,Vz,Vw
VW = Z (bo pochodna sin to cos)
VX = -Y (bo pochodna cos to -sin)
VY = X (bo pochodna sin to cos)
VZ = - W (bo pochodna cos to -sin)
Czyli V = (Z,-Y,X,-W).
Szaruś pamiętał sześć pól wektorowych z notki Trójwymiarowa sfera - codziennie z nowym uczesaniem:
v1L = (-X,W,-Z,Y) , v1P = (-X,W,Z,-Y)
v2L = (-Y,Z,W,-X) , v2P = (-Y,-Z,W,X)
v3L = (-Z,-Y,X,W) , v3P = (-Z,Y,-X,W)
I teraz wszystko stało się jasne: V = -v3P. Czyli mysz biegnie po trzecim prawym kwaternionowym, tyle, że do tyłu – zapewne dla zmyłki. Teraz już nic nie stoi na przeszkodzie, by trajektorie myszy na tym polu wyrysować. Wystarczy już tylko rzut stereograficzny a w nim wyrysować linie kąta psi. I wtedy mysz się schowa do żadnego kąta.
A oto szkic sytuacyjny sporządzony przez Szarusia. Widać trajektorie myszy. Pole to po prostu pole prędkości myszy – styczne do tych trajektorii. Pole było w notce Trójwymiarowa sfera - codziennie z nowym uczesaniem. Trajektorie pola na szkicu poniżej
Tak właśnie mysz biegnie (czasem lata, bo myszy czasem latają) gdy łapkami porusza kat psi. Teraz, gdy Szaruś już to sobie w głowie wyrysował, myszka długo sama nie pobiega. Bo Szaruś, trzeba wiedzieć, on przecież mysz nie zjada. On je łowi do zabawy!
Spokojnych Świąt!
