Jaś na Mikołaja dostał pole wektorowe. Małgosia dostała inne pole wektorowe. Teraz czas na zabawę. Co z tymi polami wektorowymi można zrobić? Jak można się nimi bawić?
Zaproponował Jaś: chodźmy do lasu. Tam jest chatka, gdzie możemy się ukryć. Ja wyciągnę z twojego pola dywergencję, a ty wyciągniesz z mojego rotację. No i poszli. Ale przed chatką stała Baba Jaga i wyjaśniła dzieciom, że ani wyciąganie z czyjegoś pola rotacji ani dywergencji – to nie są naturalne operacje na polach wektorowych, to nie są zajęcia dla małych dzieci, bowiem wymagają dodatkowych struktur, które dla małych dzieci (a także dla całkiem dużych) mogą nie być bezpieczne.
Baba Jaga zaproponowała naturalną operację na dwóch polach wektorowych: wzięcie komutatora. Niech Jaś da swoje pole, Małgosia da swoje, Baba Jaga weźmie oba do chatki. Odprawi swe czary, i z tych dwóch zrobi się trzecie pole – ich komutator (albo „nawias Liego”).
I wzięła Baba Jaga oba pola do chatki, i odprawiła swoje czary. Najpierw nic jej nie wyszło, bo czytała zaklęcie z wykładu geometrii różniczkowej dla studentów fizyki na Uniwersytecie Warszawskim, wykładu prof. Katarzyny Grabowskiej z Katedry Metod Matematycznych Fizyki. Tam, w tym wykładzie, na stronie drugiej, zaklęcie tak wyglądało
Błąd w jednej małej literce, i już czary nie działają! Wyszedł zakalec a nie komutator. Dopiero po poprawieniu, po zamianie po lewej stronie literki „i” na „j” - dopiero wtedy w domku na kurzych nóżkach zaszumiało, i z szumem przez komin wyleciało trzecie pole – komutator pól Jasia i Małgosi.
Dzieci były wniebowzięte.
No i wiedźma wytłumaczyła. A tłumaczyła tak.
Jasiu, dostałeś pole v1L z notki Trójwymiarowa sfera - codziennie z nowym uczesaniem, nieprawdaż? A ty Małgosiu, dostałaś pole V2L. Przy czarach symbole są ważne – nie należy ich mieszać. W notce dużymi literami W,X,Y,Z oznaczone były zmienne, współrzędne. Zaś w wykładzie dużymi literami X,Y oznaczane były pola, zaś zmienne to były x1,x2,... Niewtajemniczony nie zrozumie – to celowo, by zabezpieczyć świat przed nieodpowiedzialnymi żartownisiami. Czarownik wie, że najpierw musi oznaczyć zmienne W to x1,X to x2,Y to x3,Z to x4. Pole Jasia oznaczymy X, pole Małgosi Y. Wtedy zamiast
v1L = (-X,W,-Z,Y).
v2L = (-Y,Z,W,-X)
v3L = (-Z,-Y,X,W)
napiszemy
v1L = X = (-x2,x1,-x4,x3)
v2L = Y = (-x3,x4,x1,-x2)
v3L = (-x4,-x3,x2,x1)
Mamy obliczyć [X,Y] z poprawionej formuły z wykładu prof. Grabowskiej. Ta formuła jest trochę niejasna dla niewtajemniczonych. Niech Z będzie komutatorem pól X i Y. Wtedy formuła przełożona z języka czarowników na zwykły dziecięcy język wygląda tak
Z1 = X1∂Y1/∂x1 + X2 ∂Y1/∂x2 + X3∂Y1/∂x3 +X4∂Y1/∂x4
-(Y1∂X1/∂x1 + Y2 ∂X1/∂x2 + Y3∂X1/∂x3 +Y4∂X1/∂x4)
Z2 = X1∂Y2/∂x1 + X2 ∂Y2/∂x2 + X3∂Y2/∂x3 +X4∂Y2/∂x4
-(Y1∂X2/∂x1 + Y2 ∂X2/∂x2 + Y3∂X2/∂x3 +Y4∂X2/∂x4)
Z3 = X1∂Y3/∂x1 + X2 ∂Y3/∂x2 + X3∂Y3/∂x3 +X4∂Y3/∂x4
-(Y1∂X3/∂x1 + Y2 ∂X3/∂x2 + Y3∂X3/∂x3 +Y4∂X3/∂x4)
Z4 = X1∂Y4/∂x1 + X2 ∂Y4/∂x2 + X3∂Y4/∂x3 +X4∂Y4/∂x4
-(Y1∂X4/∂x1 + Y2 ∂X4/∂x2 + Y3∂X4/∂x3 +Y4∂X4/∂x4)
Chcemy obliczyć Z1. Będziemy więc najpierw różniczkować Y1. Ale Y to (-x3,x4,x1,-x2) . Zatem Y1 to -x3. Zatem tylko pochodna po x3 przeżywa i jest równa -1. Stąd człon X3∂Y1/∂x3 w Z1 daje wkład -X3 czyli x4. Dalej musimy różniczkować X1. Ale X1 = -x2. Zatem tylko pochodna po x2 przeżywa i równa się -1. Stąd człon -Y2 ∂X1/∂x2 daje wkład Y2 czyli x4. Razem dostajemy
Z1 = 2x4
Teraz dzieci, rzekła wiedźma, ja będę piekła placek, a wy obliczcie Z2,Z3,Z4. I dzieci wzięły się do rachunków, i wyliczyły, że
[v1L,v2L] = -2 v3L
A wiedźma wciąż warzyła i warzyła, zatem dzieci wyliczały dalej
[v2L,v3L] = -2v1L
[v3L,v1L] = -2v2L
[v1P,v2P] = 2 v3P
[v2P,v3P] = 2 v1P
[v3P,v1P] = 2 v2P
I w tym momencie wiedźma wyszła z chatki razem z ciasteczkami. Dzieci się oblizały i chciały jeszcze wyliczyć komutatory pól lewych i prawych, jednak wiedźma im to odradziła i wysłała do domu. Ciekawe dlaczego
