Rozpoczęliśmy poszukiwania czwartego wymiaru, ale na razie jedynie uchyliliśmy doń wrota. Nie bójmy się jednak, zajrzyjmy głębiej. Przypomnę dotychczasowy tok akcji.
Interesują nas obroty w trójwymiarowej przestrzeni. Co to są te obroty? Nie chodzi nam oczywiście o obracanie się w pewnych kręgach, jak tu
Synonimy do słowa spoufalać się
-
poufalić się , bratać się , integrować się , kumać się , zbliżać się , zadawać się , otaczać się , fraternizować się , kolegować się , przyjaźnić się , kumplować się , obcować , † pospolitować się , † przestawać , być z kimś za pan brat , być z kimś w bliskich stosunkach , nawiązywać z kimś bliskie kontakty , utrzymywać z kimś stosunki , przebywać razem , obracać się w pewnych kręgach , pozwalać sobie na poufałość
Idzie nam o izometryczne przekształcenia przestrzeni przy ustalonym punkcie. Matematycznie takie przekształcenia opisywane są przez macierze ortogonalne. Uczą się tego górnicy i hutnicy: Obroty, czyli MINIMUM niezbędne każdemu fizykowi!, Paweł Rzońca. Interesują nas szczególnie te „obroty właściwe”, opisywane przez macierze o wyznaczniku 1. Obroty można składać, złożenie dwóch obrotów jest obrotem. Można je odwracać. Tworzą „grupę”. Grupę obrotów właściwych trójwymiarowej przestrzeni Euklidesowej oznaczamy symbolem SO(3). „S” bo „specjalne” - o wyznaczniku 1, „O” bo ortogonalne, „3” - bo taki jest wymiar naszej przestrzeni (tak przynajmniej się ogólnie przyjęło i mało kto to kwestionuje).
Obracająca się w kosmosie skrzydełkowa nakrętka, abstrahując od jej ewentualnego ruchu postępowego, „gajka Dżanibekowa”, ściślej: jej położenia w przestrzeni, opisywane są właśnie macierzami z grupy SO(3). Ta grupa to dla naszej gajki „przestrzeń”, przestrzeń jaką ona „widzi” i „czuje”. Gdzie ma oczy i czujki? Tego nie wiem. Fizyka jeszcze do takich pytań nie dorosła.
Miast zajmować się obrotami przeszliśmy jednak do kwaternionów. Bowiem numerycznie łatwiej obracać przy pomocy kwaternionów niż przy pomocy macierzy. W dodatku mamy coś przy okazji za darmo, bowiem użycie kwaternionów zbliża nas do mechaniki kwantowej. Obroty opisujemy przy pomocy kwaternionów o normie 1. Te tworzą też grupę (ze względu na mnożenie), ta grupa znana jest pod nazwą SU(2) i jest szeroko stosowana w mechanice kwantowej. Przypomnijmy (z notki Obracamy obroty) jak kwaterniony obracają wektory, jak kwaterniony implementują obroty?
Poniżej znajduje się zbiorcza lista wszystkich synonimów do słowa implementować.
przystosowywać, wdrażać, wprowadzać, zastosować
Z każdym wektoremv o składowych v1,v2,v3 wiążemy kwaternion czysto urojony
v = v1.i + v2.j + v3.k
Wtedy ||v||2 policzona czy to z v jako kwaternionu, czy to z v jako wektora, jest ta sama. Jeśli q jest kwaternionem o normie 1, zaś v reprezentuje wektor, wtedy v' zdefiniowane jako
v' = q v q*
też reprezentuje wektor, w dodatku o tej samej długości co v. Przekształcenie
v → v'=qvq*
jest obrotem.
No to weźmy przykład. Weźmy kwaternion u(t) zdefiniowany jako
u(t) = e it = cos(t) + i sin(t)
Teraz u(t)u(t)*= (cos(t) + i sin(t))( cos(t) - i sin(t)) =cos2(t)+sin2(t)=1.
Zatem nasze u(t) jest kwaternionem jednostkowym. Możemy bez trudu obliczyć
v(t) = u(t)vu(t)*=(cos(t) + i sin(t))(v1.i + v2.j + v3.k)(cos(t) -i sin(t))
Mamy 2x3x2=12 wyrazów. W każdym z nich stosujemy zasady mnożenia kwaternionów. Wynik, jak go na kartce papieru wyliczyłem, jest taki
v1 i + (cos(2t) v2 – sin(2t) v3) j + (cos(2t) v3 + sin(2t) v2) k
(Ilustracja poniżej dorobiona później na prośbę BJABa w komentarzu)
Dla t = π (połowa kąta pełnego) nasz wektor wraca do wyjściowego położenia. Ale nasz kwaternion u(t) jeszcze nie wraca, bowiem u(π) = -1. Kwaternion u(t) staje się znów jedynką dla t= 2π, ale wtedy nasz wektor zdąży obrócić się już o 4π.
Paradoks – ktoś by mógł powiedzieć. Zapewne. Nie bójmy się paradoksów. Życie jest paradoksem, istnienie jest paradoksem. Ludzie nawet próbują wymyślać urządzenia mechaniczne do wizualizacji kwaternionów
Nam to nie będzie potrzebne. Wszystko przez te „szczęki” w formule na obracanie wektorów kwaternionami. Po wykonaniu mnożeń pojawiają się iloczyny sinusów i kosinusów, no i wychodzi w końcowej formule kąt podwojony. Jest zatem jakaś głębsza rzeczywistość, co my jej nie widzimy, dla nas, w naszym świecie czy kwaternion q czy -q – nie robi różnicy. Odbieramy naszymi zmysłami tak samo.
Ale istoty zbudowane z kwaternionów a nie z wektorów mają czulszy węch. Ich rzeczywistość jest bogatsza. Czy mamy się z tego powodu czuć upokorzonymi? Nie sądzę.
W kolejnej notce wejdziemy jeszcze głębiej w świat kwaternionów. Zamiast zmysłów mamy przecież matematykę!
