Niespokojne czasy, ciekawe czasy. W ciągu najbliższych czterdziestu dni wiele się może zdarzyć, wiatry mogą powiać w tą lub w tamtą stronę. A jednak zawsze na Ziemi jest takie miejsce, gdzie wiatru nie ma. Tak przynajmniej mówią powołując się na twierdzenie matematyczne Brouwera o punkcie stałym. Podobno nawet ekonomiści Noble dostają m.in. za używanie tej właśnie matematyki. Niby, że dwuwymiarowej sfery nie da się przyzwoicie zaczesać.
Poszukując w sieci czegoś na polskim gruncie natrafiłem na anegdotkę Korwina: Sfery nieuczesane i Janusz Korwin-Mikke. Trochę tam polskich nazwisk matematycznych. A to Borsuk, a to uczennica Borsuka, pani Krystyna Kuperberg z Auburn, Alabama (skąd my to znamy?). Więcej jednak w sieci angielskiej, na przykład Of Hairy Balls, Fixed Points and Coffee, gdzie można znaleźć zarówno uczesane jak i nieuczesane sfery.
My sami czesać będziemy sferę trójwymiarową, a ją się gładko i przyzwoicie zaczesuje (tak jak każdą nieparzysto-wymiarową, ale trójwymiarową szczególnie gładko). O tej dwuwymiarowej wspominam jedynie z przyzwoitości. No, ale po kolei. Po wertepach prowadzić trzeba za rączkę.
Zacznijmy od wektora na płaszczyźnie.
No jest sobie taki wektor. Samotny. Smutno mu. Chcemy go rozprowadzić po całej płaszczyźnie, chcemy w ten sposób utworzyć pole wektorów, aby wszystkie zwrócone były w tym samym kierunku. Nic prostszego. Przesuwamy nasz wektor równolegle do innych punktów.
I już naszemu wektorowi nie jest smutno. Interesują nas przy tym pola wektorowe o tej samej orientacji politycznej, wszystkie patrzące w tym samym kierunku, widzące tą samą świetlaną przyszłość. Takie pola, pokręcone jak to:
nas tu nie interesują.
Na płaszczyźnie jest więc politycznie fajnie. Gorzej na dwuwymiarowej sferze.
Chcemy wektor , ten skierowany w górę, blisko nas, przesunąć równolegle, zachowując kierunek, do przeciwległego punktu sfery. Możemy przesuwać po tym pionowym czarnym półkolu. Wtedy wektor przesunięty, po przeciwnej stronie, będzie skierowany w dół.
Ale możemy też przesuwać po zielonej poziomej linii. Wtedy przesunięty wektor będzie skierowany w górę.
Na dwuwymiarowej sferze każda próba ciągłego rozprowadzenia wektora po całej sferze kończy się niepowodzeniem – osobliwością. Tak właśnie stwierdza twierdzenie o zaczesywaniu sfery.
Czasem wyciąga się z tego wniosek, że zawsze jest na Ziemi przynajmniej jeden punkt, gdzie nie ma wiatru. Byłoby to faktycznie prawdą gdyby wiatry wiały zawsze poziomo, stycznie do powierzchni. Ale wiatr może wiać też pionowo. Zatem w twierdzeniu zastosowanym do wiatru mowa jedynie o poziomej składowej wiatru (Wikipedia: Hairy ball theorem).
W następnej notce będziemy rozprowadzać wektory styczne do trójwymiarowej sfery. Te będą grzeczne.
---------------------------------
Tak, poza-obowiązkowo: każda nieparzysto-wymiarowa sfera ma wszędzie niezerowe i gładkie pole wektorowe. A robimy tak:
Bierzemy przestrzeń Euklidesową parzysto-wymiarową, powiedzmy 2n wymiarową. Numerujemy współrzędne x1,...,xn,y1,...,yn. Tam mamy sferę jednostkową:
(x1)2+..+(xn)2+(y1)2+...+(yn)2= 1.
Jest ona 2n-1, zatem nieparzysto-wymiarowa. Bierzemy na tej sferze pole wektorowe
(y1,...,yn,-x1,..,-xn)
Długość każdego wektora tego pola jest równa 1. Co więcej, jest to wektor styczny do sfery, bowiem jest prostopadły do promienia wodzącego (x1,...,xn,y1,..,yn). No i z głowy. CBDO. QED.
