Dwa dni temu odwiedziliśmy Kwaterniony. Mieszkają pod mostem. Ponuro trochę i zimno, pociągi hałasują, ale przynajmniej nie pada.
To tutaj zapewne Lord Hamilton pociągał irlandzką whiskey,w głowie mu się kręciło, i stąd powstały kwaterniony. Kwaterniony kręcą wektorami i same się kręcą. I te właśnie krętactwa są tematem niniejszej notki, notki co sama całości nie stanowi, jest bowiem kontynuacją notki poprzedniej.
Każdy kwaternion q = w.1 + x.i + y.j + z.k ma normę. Kwadrat tej normy to
||q||2 = q.q* = w2 +x2 +y2 +z2.
Tylko kwaternion zerowy (w=x=y=z=0) ma normę zerową. Każdy inny kwaternion ma normę większą od zera. Norma ta ma bardzo przyjemną własność: norma iloczynu jest iloczynem norm
||q q'|| = ||q|| ||q'||.
Co więcej, norma kwaternionu sprzężonego
q* = w.1 - x.i - y.j - z.k .
jest ta sama: ||q|| = ||q*||.
Jeśli q i q' mają normę 1, wtedy ich iloczyn ma też normę 1. Można sobie też sprawdzić, że sprzężenie iloczynu jest iloczynem sprzężeń – ale w odwrotnej kolejności:
(qq')*=q'* q*
To miłe. Kwaterniony o normie 1, kwaterniony jednostkowe, tworzą grupę. Można je mnożyć. Można odwracać. Odwrotnością kwaternionu q o normie 1 jest kwaternion sprzężony q*. W samej rzeczy dla każdego kwaternionu q, niekoniecznie jednostkowego, iloczyn qq* jest liczbą rzeczywistą:
qq* = q*q = ||q||2.
Kwaternionami można reprezentować wektory. Z każdym wektorem v o składowych v1,v2,v3 wiążemy kwaternion czysto urojony
v = v1.i + v2.j + v3.k
Wtedy ||v||2 policzona czy to z v jako kwaternionu, czy to z v jako wektora, jest ta sama. Jeśli q jest kwaternionem jednostkowym, zaś v reprezentuje wektor, wtedy v' zdefiniowane jako
v' = q v q*
też reprezentuje wektor, w dodatku o tej samej długości co v. Przekształcenie
v → v'=qvq*
jest więc obrotem. Każdy kwaternion jednostkowy obraca w ten sposób wektory – bierze wektor v w szczęki qvq* , przeżuwa, wypluwa v', i ta szczękowa operacja to obrót. Szczęki to Tichy wymyślił, może gdy patrzył na szczeniaka.
Te szczeniakowate obroty są punktem wyjścia do zastosowania kwaternionów w 3D grafice i sterowaniu urządzeniami w przestrzeni.
Zauważmy, że mnożenie kwaternionów jest, na ogół, nieprzemienne. Na przykład ij= k, ale ji = -k . Kwaterniony jednostkowe tworzą grupę nieprzemienną. Jest to ta sama grupa, którą w fizyce oznaczają SU(2). W samej rzeczy kwaternionów jest dwa razy więcej niż obrotów, bowiem kwaterniony q i -q obracają tak samo wektory – przy szczękowaniu przez -q pojawia się -1 mnożone przez -1, a to jest 1:
q v q* = (-q) v (-q)*
W zastosowaniach to specjalnie nie przeszkadza.
Kwaterniony (te jednostkowe) obracają wektory. Ale obracają też same siebie. Powiedzmy, że p jest kwaternionem jednostkowym. Bierzemy jednostkowy kwaternion q i mnożymy p z lewej strony
p → qp
Obróciliśmy obrót. Otrzymaliśmy inny kwaternion jednostkowy. Teraz szczęk nie używamy. Obracamy kwaternionami kwaterniony a nie wektory. Albo weźmy inny kwaternion q' i pomnóżmy p przez q' z prawej strony
p → pq'
Znów obróciliśmy obrót. Dostaliśmy nowy kwaternion z p, tym razem przez mnożenie z prawej strony.
Mnożenie kwaternionów przez siebie jest nieprzemienne, ale obracanie obrotów przez mnożenia z prawej i z lewej strony są ze sobą przemienne:
(qp)q' = q(pq')
Wynika to z łączności mnożenia. Dla oktonionów tej miłej własności już nie mielibyśmy. Niech więc oktoniony śpią spokojnie, nie będziemy ich budzić.
Wracając do gajki: mnożenie z lewej będzie odpowiadało obrotowi laboratorium, mnożenie z prawej – obrotowi samej gajki. Gajce jest wszystko jedno jak jest obrócone laboratorium. Jednak gajce nie jest wszystko jedno w którą stronę ona sama się obraca. Względem pewnych (własnych ) osi obracać się jej będzie wygodniej niż względem innych (pokonywanie bezwładności). Więc będzie kombinować tak, by jej życie było najlżejsze – po geodezyjnej. A kiedy ekonomia będzie wymagała fikołka – fiknie. Ale to w kolejnych notkach.
