Gdy ja fikam, to świat fika. Czemu nie? Można i tak. Gdy siedzę na karuzeli, to świat wokół mnie wiruje. Świat cały! Bez wyjątku. Nawet odległe gwiazdy i galaktyki wprawiam w ruch wirowy jednym kopem, gdy odbijam się od ziemi.
Świat się wokół mnie kręci. Ogromne siły tam muszą działać, nieprawdaż? Siła odśrodkowa jest proporcjonalna do odległości. Na galaktyki odległe ode mnie działają zatem kolosalne siły! Czemu się świat od tego wirowania nie rozleci? No i kręt ma ogromny, gdyby tak posumować kręty wszystkich galaktyk, co kręcą się wokół mnie 10 obrotów na sekundę!
Rzecz w tym, że to nie ma sensu. Interesuje nas kręt karuzeli ze mną względem świata, a nie kręt świata względem mnie. To ja się kręcę, a nie świat. Kto wie, może i świat się jakoś tam kręci, ale jak? Tego nikt nie jest pewien. Z dobrym przybliżeniem świat uwiązany do odległych gwiazd jest dobrym przybliżeniem układu inercjalnego. Dobrym jak na nasze dzisiejsze potrzeby.
Interesuje nas wektor momentu pędu bąka względem układu inercjalnego a nie kręt układu inercjalnego względem bąka. To drugie może nawet nie mieć żadnego sensu – nic bowiem z naszych rachunków, choćbyśmy nie wiem jak się naliczyli, nie będzie wynikać.
Zajmijmy się więc gajką i jej krętem względem laboratorium. Układ odniesienia przymocowany do ścian statku kosmicznego jest, jak na nasze cele, wystarczająco dobrym przybliżeniem układu inercjalnego. A w myślach zrobimy jeszcze inaczej – przymocujemy nasz układ inercjalny do środka masy lecącej i obracającej się gajki. Byle miał, w przybliżeniu, stałą w czasie orientację względem odległych gwiazd. W jakim przybliżeniu? No, w takim by na czas lotu gajki świat się wokół mnie zbytnio nie obrócił.
Jako, że interesuje nas gajka swobodna, informacja o jej możliwych rodzajach ruchu jest zakodowana w równaniach Eulera – przypomnę z poprzedniej notki:
Ω =(Ω1 ,Ω2 ,Ω3 ) to współrzędne wektora kątowej gajki względem laboratorium, gdy ten wektor opisujemy w układzie współrzędnych wirującym wraz gajką, układzie którego osie ustawione są wzdłuż osi głównych momentu bezwładności.
W poprzedniej notce, Dlaczego fika? Cz. 2, zauważyliśmy, że równania Eulera mają trywialne rozwiązania, gdy Ω = 0. Odpowiada to przypadkowi, gdy gajkę umieszczamy, w kabinie statku kosmicznego, przed naszym nosem i nie nadajemy jej żadnego krętu. No i tak ona sobie stoi, czy wisi, nieruchomo. W praktyce długo nie powisi, na przykład bo wiatr powieje i ją popchnie, ale teoretycznie jest to możliwe.
Nas jednak interesują przypadki, gdy gajka się obraca, czyli gdy wektor Ω jest różny od zera. Najprościej by było gdyby Ω był wektorem stałym. Wtedy lewe strony równań są równe zeru. By prawe strony były równe też zeru iloczyny Ω1 Ω2, Ω2 Ω3, Ω3 Ω1 muszą być równe zeru. Tak będzie gdy dowolne dwie składowe wektora Ωsą równe zeru, trzecia zaś jest stałą i różna od zera. Co to oznacza dla obserwatora w laboratorium? Wracamy do równania Arnolda (patrz poprzednia notka):
dQ(t)/dt = Q(t) W( Ω(t) ),
gdzie W( Ω(t)) jest macierzą 3x3
W( Ω(t)) =
0, –Ω3(t), Ω2(t)
Ω3(t), 0, –Ω1(t),
-Ω2(t), Ω1(t), 0.
Teraz Ω(t) , zatem także W( Ω(t)) jest stałe. Rozwiązaniem równania
dQ(t)/dt = Q(t) W,
gdzie W jest stałą, antysymetryczną macierzą, z warunkiem początkowym Q(0)=I, jest Q(t) = exp (Wt). Konkretnie, przypuśćmy, że Ω1=Ω2=0, Ω3 =Ω. Wtedy
W =
0, –Ω, 0
Ω, 0, 0,
0, 0, 0.
Zaprzęgam do pracy komputer:
I widzimy, że jest to macierz obrotu o kąt Ωt wokół osi z. Nasz bąk obraca się ze stałą prędkością kątową wokół
trzeciej osi. W naszym przypadku jest to oś z największym momentem bezwładności. Jednak równie dobrze moglibyśmy założyć Ω1=Ω3=0, Ω2 =Ω, lub Ω2=Ω3=0, Ω1 =Ω. Zatem jednostajne obracanie się wokół każdej z głównych osi to możliwe zachowanie się naszej gajki. Żadnych fikołków. Zwykła porządna, wirująca po wsze czasy gajka.
Po wsze czasy? A co jak obserwator niechcący dmuchnie? No właśnie. Nad tym trzeba się zastanowić. Tu mogą bowiem wystąpić (i wystąpią) różnice pomiędzy trzema przypadkami. Ale to temat na następny odcinek.
Komentarze