Trzyosiowa Ziemia

Fakt, że miałem przerwę w pisaniu notek. Przerwę dłuższą niż zwykle, bo aż ZAKRĘCONY w komentarzu musiał napisać: "Skoro nic się aktualnie nie dzieje to może trochę popytam? ". I popytał. Obiecałem, że odpowiem, i odpowiadam. Ale najpierw: niby mam jawne rozwiązanie równań na swobodny ruch obrotowy asymetrycznego bąka. Mogę imitować fikania gajki Dżanibekowa. Fajnie. Ale czy mogę też imitować fikania obroty i fikania Ziemi?

Najczęściej zakłada się, że Ziemia to bąk symetryczny. Ma więc dwa główne momenty bezwładności jednakowe, trzeci nieco większy. Wiadomo z obserwacji, że oś wirowania nie jest stała, ale ma stały kąt względem osi symetrii (od bieguna do bieguna) – około 0.2 sekundy kątowej, czyli koło 6 metrów od bieguna, i z czasem po okręgu o promieniu 6 m wędruje. (gdzie Jest to tzw. kołysanie (nutacja) swobodne Chandlera. Teoretycznie winno to podobno wynieść 305 dni, a faktycznie wynosi 433 dni. Ładnie pisze o tym Barbara Kołaczek w artykule Ruch obrotowy Ziemi w Uranii, choć tam mamy 0.1 sekundy i 3m amplitudy. Różnicę pomiędzy teorią a obserwacjami wyjaśnia się przede wszystkim faktem, że Ziemia nie jest ciałem doskonale sztywnym, że trochę jest jednak elastyczna.

Trochę o tym poczytałem i znalazłem, że Ziemia tak naprawdę to symetryczna nie jest. Ma wszystkie trzy momenty bezwładności różne – co nie powinno dziwić, bo Himalaje na przykład nie mają po drugiej stronie Ziemi swego odpowiednika. W pracy Aliny-Danieli Vilcu p.t. „On the elements of the Earth’s ellipsoid of inertia” wynalazłem takie wartości trzech momentów bezwładności

I1 = 8.010935639 · 10 ³⁷ kg · m ² ,

I2 = 8.011108377 · 10 ³⁷ kg · m ²,

I3 = 8.037333747 · 10 ³⁷ kg · m ²

Trochę mnie te wielkie liczby przeraziły (10 ³⁷ kg), ale postanowiłem zbadać co moje formuły dadzą w tym przypadku. Czy wyjdzie mi te 305 dni z podręczników, co każdy astronom i geodeta o nich wie. By zastosować moje równania do Ziemi potrzebna mi była wartość krętu Ziemi. Zacząłem szukać po sieci. Znalazłem w końcu ładną prezentację „Angular momentum”, i tam na stronie wyliczoną wartość

L = 7.06 · 10 ³³ kg · m ²/s

Pomyślałem, że w przybliżeniu powinno mi wystarczyć. Zacząłem podstawiać do moich równań, i za nic w świecie nie chciały mi wyjść 24 godziny na obrót Ziemi. W najlepszym razie dociągałem do 20 godzin, ale więcej nie wychodziło. Najwyraźniej była jakaś sprzeczność między danymi na momenty bezwładności i taką właśnie wartością krętu, wyliczona przy założeniu, że Ziemia jest idealną sferą. Co mnie zmusiło do myślenia. Znałem dwie liczby: 24 godziny na okres obrotu Ziemi i 0.2 sekundy łuku na odchylenie osi obrotu względem osi symetrii. Stąd, używając moich równań, co je tu już przedstawiałem, wyliczyłem jaki winien być kręt i jaka energia kinetyczna. Wyszło mi, że

L = 5.844914040283433 · 10 ³³ kg · m²/s

zaś współczynnik d=2Ek/L2 musi być równy

(1+ 3.0063526019990524 10 ^-15)/I3

Przy tych wartościach patrząc na nutację, numerycznie, wyszły mi 304 dni. Ponieważ 304 jest tak samo złe jak 305 (i nie mam tu na myśli modnych przed 30 laty modeli samochodu Pegueot) , uznałem to za sukces. Jednak żadne inne efekty przy tak małej asymetrii nie chciały wychodzić. Fikać moja Ziemia nie chciała, nawet wtedy gdy wymodelowałem 100 tysięcy lat. Gajka Dzanibekowa jest z pewnością wdzięczniejszym obiektem niż Ziemia, choćby dlatego, że nie płyną po niej oceany a środku się płynna magma nie telepie.

Tyle tytułem sprawozdania z moich studiów geofizyki. Wracam do fizyki i do matematyki. W komentarzu pod poprzednią notką ZAKRĘCONY wyrażał swe zaniepokojenie faktem, że nie przykładamy należytej wagi do tego, że obroty są nieprzemienne. BJAB starał się uspokajać, że „Znamy zatem trajektorię kątów, ich zmiany w bardzo małych przedziałach czasu. W tych przedziałach zmiany kątów są bardzo małe. A bardzo małe kąty dodają się jak wektory, dodają się przemiennie.„

W samej rzeczy mamy tu dwie sprawy i żadna z nich nie jest prosta. Obroty nie tworzą przestrzeni wektorowej. Nie da się „odjąć” ani „dodać” jednego obrotu od drugiego. Można brać odwrotny, można składać. Ale nie dodawać i nie odejmować. Nie można też zatem różniczkować. Podobnie zresztą jak nie można dodać dwóch punktów na powierzchni sfery bez wychodzenia poza tą sferę. Z rozważania takich zagadnień powstała geometria różniczkowa, pojęcie rozmaitości, pojęcie przestrzeni stycznej, rachunek tensorowy na rozmaitościach itd. Obszerny kawałek matematyki, dziś uczą się tego górnicy i hutnicy. Oto przykładowy syllabus:

Wstęp

Przypomnienie podstawowych wiadomości dotyczących grup i innych struktur algebraicznych. Działanie grupy na zbiór.

1. Grupy topologiczne

   Pojęcie grupy topologicznej wraz z podstawowymi własnościami. Grupy i algebry macierzy (ortogonalne, hermitowskie, symplektyczne, specjalne). Definicja i własności odwzorowania wykładniczego.

2. Geometria jako teoria niezmienników grup przekształceń

   Rola odwzorowania wykładniczego.

3. Elementy algebry wieloliniowej

   Iloczyn tensorowy i potęga zewnętrzna.

4. Rozmaitości różniczkowe

   Pojęcie rozmaitości różniczkowej, atlasu, mapy i struktury różniczkowej. Przestrzeń styczna (dwie definicje).

5. Podrozmaitości

   Odwzorowanie styczne (różniczka). Podrozmaitości. Wiązki styczne i kostyczne oraz wiązki wektorowe. Pola wektorowe.

6. Różniczka zewnętrzna

   Pola wektorowe (kontynuacja), przepływy, krzywe całkowe. Algebra Liego pól wektorowych. Formy różniczkowe. Różniczka zewnętrzna, iloczyny zewnętrzny i wewnętrzny, pochodna Liego.

7. Twierdzenie Stokesa

   Powierzchnie gładkie w przestrzeni euklidesowej. Całkowanie form różniczkowych, twierdzenie Stokesa.

8. Pola potencjalne

   Całkowanie form różniczkowych (kontynuacja). Potencjał, pole potencjalne, warunki konieczne i wystarczające dla potencjalności pola.

9. Symbole Christoffla

   Koneksja afiniczna, przeniesienie równoległe, pochodna kowariantna. Symbole Christoffla.

10. Geodezyjne

    Krzywizna, skręcenie, równania strukturalne. Geodezyjne i ich własności.

11. Rozmaitości riemannowskie

    Tensor metryczny, rozmaitość riemannowska. Koneksja riemannowska, jej charakteryzacja i własności.

12. Lemat Schura

    Zupełność i twierdzenie Hopfa – Rinova. Krzywizna sekcyjna. Lemat Schura.

13. Grupy Liego

    Grupy Liego i ich algebry Liego. Odwzorowanie wykładnicze. Homomorfizmy grup i algebr Liego.

Drugi problem to ta nieprzemienność – trzeba się z nią umiejętnie obchodzić. To punkt 13 u górników i hutników. Nas szczególnie interesują grupy macierzy. Każdy obrót jest przedstawiany macierzą i choć obrotów odejmować nie można, macierze odejmować można. I tak to robimy. Uzasadnić, że wszystko co robimy ma sens, da się ściśle uzasadnić, to już jest wyższa szkoła. Ze względu na charakter tego blogu mogę jedynie uspokoić, że wszystko co pisałem jest poprawne i w żadnym miejscu nie oszukiwałem. Co każdy może sprawdzić śledząc ciąg notek krok za krokiem. Nigdzie ni ma błędu, a wynik jest: krzywa w nieprzemiennej grupie obrotów. I nie ma tu znaczenie czy obroty reprezentujemy przez macierze 3x3 (zatem jeden obrót to 9 liczb), czy przez kwaterniony (jeden obrót to cztery liczby), czy też (minimalnie) przez katy Eulera (jeden obrót to 3 kąty). To tak jak z mapami – są różne siatki geograficzne. Jeden są dobre do jednych celów, inne do innych, i zawsze można przejść od jednej do drugiej.

W następnej notce przyjrzymy się tym drogom w przestrzeni nieprzemiennych obrotów na obrazkach.