Fikołek oswajany

Czemu o fikających gajkach milczą podręczniki? Odpowiedź jest prosta: z niedouczenia. Niedouczeni są fizycy, niedouczeni matematycy. Niedouczeni i leniwi. Bo mogliby się douczyć, ale im się nie chce. Wolą pójść do baru i do kina, ale nauczyć się funkcji eliptycznych to im się już nie chce.

Gajkę wyczaił kosmonauta Dżabenikow w roku 1985. Rosjanie ponoć trzymali to odkrycie przez 10 lat w sekrecie. Myślę jednak, że Amerykanie ten sekret odkryli dość szybko i zlecili swoim ekspertom zbadanie rzeczy. Eksperci doszli do wniosku, że rzecz nie wykracza poza znaną fizykę i tak właśnie, moim zdaniem, powstała praca

Mark S. Ashbaugh, Carmen C. Chicone and Richard H. Cushman, "The Twisting Tennis Racket". Journal of Dynamics and Differential Equations. 3 (1): 67–85 (1991)

Dwaj z autorów, Ashbaugh i Chicone to matematycy z University of Missouri, trzeci, Cushman, to matematyk z Utrechtu. Piszą, że W. Burke z University of California w Santa Cruz pokazał Cushmanowi fikającą rakietę tenisową, że jakoś dziwnie fika, i że to jest nowe zjawisko. Burke to był fizyk, głównie od grawitacji. Trójka matematyków wzięła się za fikający problem i wygęgali tyle, że fikania spodziewać się należy. Ale rozwiązać ten problem - nie dali rady. Cushman to wziął się nawet za rozwiązywanie trochę potem, gdy pisał około r. 2000 „No polar coordinates”. Jednak też do końca nie rozwiązał. Usprawiedliwiał się, że od funkcji eliptycznych to on ekspertem nie jest. No, polenił się, matematyk a scałkować nie umiał. Zrejterował.

A my chcemy brać przykład z Sedlaka, lenić się nie zamierzamy. Kto się leni, ten tylko na kompost się nadaje. Kompost owszem, też użyteczny, ale przecież większe chyba mamy ambicje, nie?

A jaki jest pożytek z rozwiązania problemu do końca? A taki sam jak z oswojenia psa. Pies nieoswojony na nas naszczeka i ugryźć też może. Pies oswojony owce nam będzie prowadził.

Zatem kontynuujemy oswajanie z poprzedniej notki. I nie spoczniemy póki nie dojdziemy.

Wiemy już, że cała rzecz jest w macierzy orientacji Q(t). Q(t) się daje przedstawić jako iloczyn dwóch Q(t)=Q1(t) Q0(t). Q0(t) wyraża się przez L1(t),L2(t),L3(t) spełniające równania Eulera. Q1(t) zaś zależy od jednego tylko kąta ψ . Podstawiając te dane do równanie na Q w rezultacie otrzymujemy równanie różniczkowe na ψ . Cushman wziął trochę inne Q0, też dostał równanie na ψ, ale tu się poddał – już go nie rozwiązywał. Ja równanie na ψ wyprowadziłem używając programu Mathematica, który za mnie dokonał trochę żmudnych algebraicznych przekształceń. Równanie tak wygląda:

dψ/dt = (L1²/I1+ L2²/I2)/(L1²+L2²)

Rzecz w tym, że L1 i L2 już mamy. Przypomnę z notki Mathematica w działaniu

L1 i L2 wyrażają się przez funkcje eliptyczne cn i sn. L1 i L2 są w kwadratach, zaś cn² + sn² =1, zatem możemy wszystko wyrazić przez sn. Znów trochę prostych algebraicznych przekształceń, i wynik jest taki:

dψ/dt =( I3 – I2 + (I2 - I1) sn(Bt,m)² ) / ( I1(I3 - I2) + I3(I2 - I1) sn(Bt,m)² )

Matematyk ekspert Cushman się w tym miejscu poddał

Odsyła czytelnika do monografii Whittakera, ale nawet strony nie podaje ani wzoru nie przytacza. Poddał się. My się jednak nie poddajemy. Zresztą drogę już przed nami przetorowali Celledoni i ska. Gdy wiemy, że problem jest rozwiązywalny, jakoś psychologicznie łatwiej go rozwiązać! Można podpatrzeć u innych różne sztuczki, opanować je, i po strachu. Całki takiej jak nam potrzeba w tablicach nie znajdziemy, ale małą sztuczką algebraiczną rzecz można uprościć. Mianowicie:

ilekroć mamy do czynienia z wyrażeniem postaci (a + bx) / (c + dx) zawsze można to wyrażenie przedstawić w postaci

c1 + c2/(1+ c3 x)

Prosta algebra prowadzi do

c1 = b/d

c2= (ad-bc)/(cd)

c3= d/c

W naszym przypadku a= I3 – I2, b=I2-I1, c=I1(I3 – I2), d=I3(I2 – I1), wychodzi więc:

c1 = 1/I3

c2=1/I1 – 1/I3

c3 = ( I3 (I2-I1) ) / ( I1 (I3-I2) )

Z takimi stałymi c1,c2,c3 mamy więc

dψ/dt = c1 + c2/(1 + c3 sn(Bt,m)²)

Zatem

ψ(t) = c1 t + c2 ∫ ds /(1+c3 sn(B s,m)²), całka od 0 do t. Lepiej wprowadzić zmienną u= Bs, wtedy

ψ(t) = c1 t + (c2/B) ∫ du /(1+c3 sn(u,m)²), całka od 0 do Bt.

Teraz wystarczy dobrze poszukać po internecie i sprawa z głowy. Wystarczy zajrzeć do witryny Wolframa, tego od programu Mathematica. Na stronie o eliptycznych całkach trzeciego rozdziału znajdujemy taką formułkę:

Prawie to co nam trzeba. Za n musimy wziąć -c3. Tylko w górnej granicy straszy funkcja F(z,m). Nam potrzeba F(z,m)=Bt. Zaglądamy do definicji F:

To nam niewiele daje. Daje nam natomiast definicji amplitudy am

I to jest to. F(z,m) = Bt, czyli z= am(Bt,m). Czyli

ψ(t) = c1 t + (c2/B) Π(n, am(Bt),m)

Problem rozwiązany! Teraz tylko ładnie wszystko popodstawiać, napisać gotowe rozwiązanie, i dalej je badać – co, kiedy i jak fika?

Tak myślałem. Póki nie zacząłem badać i póki mi wyniki nie zaczęły fikać. Trochę mi czasu zajęło wyczajenie w czym jest problem. A problem jest w tym, że temu co znajdziemy w książkach czy w internecie nigdy nie należy ufać. Wszystko trzeba sprawdzać – bo naciąć się można. W naszym przypadku rzecz poszła o pewne niedopowiedzenia. Czasem też natkniemy się na pluskwę w oprogramowaniu. Dla wizjonerów, co to patrzą daleko a co mają pod nogami mało ich obchodzi, takich ja Sedlak, są to mało znaczące detale. Jednak w detalach diabeł się ukrywa i przez detale ludzie giną w katastrofach. O tych fikających detalach już w następnej notce.