Cosinus zdeformowany

W dzisiejszych czasach wiele tanich (a także drogich) produktów technicznych jakie kupujemy przychodzi z Chin. Chińczycy starają się, to widać, ale czasem instrukcja obsługi jest tylko chińszczyzną. Nie sposób pojąć o co idzie nie znając znaczenia chińskich ideogramów.

Podobnie ze zjawiskami w przyrodzie. Przyroda ma swój język, znacznie starszy i bardziej rozwinięty niż nasze ludzkie języki. Nie ma rady, chcąc zrozumieć przyrodę musimy się co nieco tego jej języka nauczyć. To i owo się w przyrodzie okresowo powtarza, do opisu zjawisk okresowych, różnego rodzaju falowań, przydają się sinusy i cosinusy. Uczymy się ich trochę w szkole. Jednak do opisu zjawisk okresowych nieco bardziej ezoterycznych, jak niż z tego ni z owego fikające w locie skrzydlate nakrętki, sinusy i cosinusy nie wystarczą. Potrzebne są ich deformacje, funkcje eliptyczne sn,cn,dn Jacobiego.

Funkcję sn, deformację sinusa, wprowadziłem tydzień temu w notce Sinus zdeformowany. Dziś tej ( i następnej Kot eleiptyczny) notki kontynuacja. Tak poznamy ideogramy potrzebne do zrozumienia i do reprodukcji/symulacji efektu. Poznamy dziś funkcję cn, w następnej notce funkcję dn. Funkcja cn to deformacja cosinusa, funkcja dn to deformacja jedynki!

Punktem wyjścia jest elipsa o półosiach a,b, z a>b, przy czym b normujemy do jedynki: b=1, zatem a>1. Równanie naszej elipsy ma postać

Jej mimośród

 

Zamiast mimośrodu używamy jego kwadratu

m = k² = (a²-1)/a²= 1 – 1/a²

Rozważamy punkt Q na elipsie o współrzędnych x(θ), y(θ)

x(θ) = r(θ) cos θ

y(θ) = r(θ) sin θ

Wprowadzamy zmienną u daną przez całkę

przy tym r zależy od θ. Funkcję sn(u,m) zdefiniowaliśmy jako y. Funkcję cn(u,m) definiujemy jako z=x/a:

cn(u,m) = z=x/a

Dalej postępujemy analogicznie jak poprzednio. Niech zatem z=x/a

Mamy

 

x²/a² + y² =1

czyli

y² = 1-z², y = √ (1-z²)

x² = a²z²,

r² = x² + y² = 1+(a²-1)z²

Podobnie jak przedtem

θ = arc tan (y/x) = arc tan (√(1-z²)/(az))

Stąd dostajemy

dθ/dz = -a/(r²√(1-z²))

u = ∫ r(θ) dθ = -∫ a/(r√(1-z²)) dz

Całka jest of P do Q. Ponieważ z=x/a w tym czasie maleje od 1, stąd i minus się pojawił.

Zamiast a wprowadźmy m = 1 – 1/a² Wtedy u możemy zapisać jako

u = -∫ 1/(√(1-m+mz²)√(1-z²)) dz

Stąd

(dz/du)² = (1-m+mz²)(1-z²)

Możemy to porównać z formułą z Wikipedii (tym dolnym równaniem)

To samo równanie, tylko oznaczenia inne. Zauważmy, że dla a=1 obydwie półosie elipsy są równe 1, m = 0, r jest stałe i równe 1, u=θ, stąd

cn(u,0) = cos u.

Dla m<1 nasz cn(u,m) jest zatem „deformacją” zwykłego cosinusa. Dla m=1 mamy

cn(u,1) = sech u = 2/(e^u+e^-u)

Że tak jest można się łatwo przekonać sprawdzając, że funkcja z=sech u spełnia równanie, przy tym dla u=0 mamy z=1.

(dz/du)² = z²(1-z²)

Wykres funkcji sech u wygląda tak

Funkcja jest cały czas praktycznie równa zeru, tylko raz na krótko się budzi – gdy trzeba fiknąć. A choć raz w życiu trzeba.

Pozostała nam jeszcze funkcja dn(u,m). Ta będzie zdeformowaną jedynką. Zajmiemy się nią w przyszłej notce.