Bąków nad Sekwaną ostatnio dużo. W nadchodzącą niedzielę Polska – Szwajcaria i bąk sferyczny będzie latał od bramki do bramki. Jak dobrze pójdzie do tej właściwej wpadnie. Nad Sekwaną stoi, jak wiadomo, wieża Eiffla, a na wieży, co nie każdy wie, wyryte są 72 nazwiska.
Dziś interesuje nas jedno z tych nazwisk, ze strony południowo-wschodniej. Między Coulombem a Foucault jest Poinsot. Wikipedia podaje:
Louis Poinsot, matematyk, Badania z zakresu mechaniki; wprowadził pojęcie momentu pędu . Dalej, w Wikipedii znajdujemy:
Louis Poinsot (1777-1859) - francuski matematyk i fizyk. Prowadził badania nad zastosowaniem metod geometrycznych do mechaniki brył sztywnych. Wprowadził pojęcie pary sił. Zajmował się również regularnymi wielościanami gwiaździstymi. Był profesorem École Polytechnique w Paryżu. Należał do Francuskiej Akademii Nauk oraz Royal Society w Londynie.
Na cześć Poinsota foremne wielościany gwiaździste posiadające ściany będące przystającymi wielokątami wypukłymi bądź wielokątami gwiaździstymi nazywa się wielościanami Keplera-Poinsota.
Mówi się o nim niemal lekceważąco - „matematyk”. A on z wykształcenia był inżynierem od dróg i mostów. Tyle, że matematyki się nie bał i używał jej umiejętnie, nawet sprawniej od niektórych kolegów – czystych matematyków. W szczególności gdy idzie o gajki. Francuzi tak o nim piszą:
Une découverte de Poinsot plus brillante et plus féconde pour les mathématiques, est celle de son admirable théorème sur le mouvement d'un solide abandonné à lui-même. Elle constitue un des plus grands pas accomplis depuis Huyghens dans la mécanique. Cette découverte plane au-dessus des vicissitudes de la mode et des changements des programmes universitaires.
Ciekawe, że nie piszą „bryła swobodna”, ale poetycko „bryła pozostawiona samej sobie” - „solide abandonné à lui-même..”
I co on takiego zrobił pożytecznego, ten Poinsot? Studiując literaturę zauważyłem zdania podzielone. Jedni piszą, że to co ten Poinsot zrobił jest całkowicie nieużyteczne, inni, że takie piękne i godne rozdziału w podręczniku.
Lesiak, w swoich wykładach ma slajd p.t. „Ruch bąka asymetrycznego – konstrukcja Poinsota” - slajd 16:
Skoro Lesiak to ma, wypada i nam o to zahaczyć, jakby nie było jest punkt wspólny z Euro 2016.
Przyjrzyjmy się obrazowi Lesiaka powyżej, zanalizujmy jego treść i formę, spróbujmy odgadnąć myśli artysty.
Dobrze jest, psiakrew, a kto powie, że nie, to go w mordę!
(Stanisław Ignacy Witkiewicz)
Zajmujemy się, bez bicia w mordę, bąkiem asymetrycznym. Wszystkie trzy momenty bezwładności są różne. Ustawiamy osie w układzie związanym z ciałem tak by oś x była wzdłuż osi największego momentu bezwładności, oś z wzdłuż najmniejszego. Będziemy to i owo rysować, do zrobienia rysunku potrzebne są konkretne, przykładowe wartości, wezmę IX = 3, IY = 2, IZ = 1. Te dane odpowiadają bąkowi w kształcie rozpłaszczonej elipsoidy, zupełnie płaskiej, wyciętej z kartonu elipsy, na osi-zapałce, wzdłuż osi x. Całkiem przyzwoity bąk, w miarę asymetryczny. Jak mówi Witkacy: dobrze jest. Świetny kandydat na fikającą gajkę Dżabenikowa.
Nasz bąk wiruje swobodnie w przestrzeni. Jak mówią Francuzi: jest pozostawiony samemu sobie, na pastwę losu.
No, nie tak całkiem jest sam, bo towarzystwa zasad zachowania energii i momentu pędu pozbyć się nie umie. No, może by i umiał, ale do tego potrzebna by mu była pomoc Erica Laithwaite
a na to nie mamy ani czasu ani możliwości.
At this time, Laithwaite suggested that Newton's laws of motion could not account for the behaviour of gyroscopes and that they could be used as a means of reactionless propulsion. The members of the Royal Institution rejected his ideas and his lecture was not published. (This was the first and only time an invited lecture to the Royal Institution has not been published.) They were subsequently published independently as Engineer Through The Looking-Glass.
Despite this rejection and the fact that Laithwaite later acknowledged that gyroscopes behave fully in accord with Newtonian mechanics,[2] he continued to explore gyroscopic behaviour, maintaining the belief that some form of reactionless propulsion could be derived from them. Laithwaite set up Gyron Ltd with William Dawson and, in 1993, applied for a patent entitled "Propulsion System". See US5860317, GB2289757 and WO9530832 for the US, UK and PCT application for patents respectively. A United States Patent, Number 5860317, was granted in 1999.
Z energią to proste. Energia kinetyczna ruchu obrotowego, w układzie ciała, wyrażona jest formułą podobna do tej dla energii kinetycznej masy mv2/2. Tylko dla ruchu obrotowego zamiast v mamy ω. No i mamy trzy momenty bezwładności zamiast jednej masy. To jest formułka (37b) u Lesiaka. Literka T oznacza właśnie tą energię kinetyczną. W czasie ruchu bąka wektor ω się zmienia, wędruje jakoś tam, a jak wędruje tym się zajmował Poinsot i my zamierzamy się tym zająć. I choć trzy składowe wektora ω, mianowicie (ωx ,ωy ,ωz), zmieniają się w czasie, to podwojona energia kinetyczna dana wzorem (37b) jest stała, nie zmienia się. Wynika z tego, że w czasie obrotu naszego ciała wektor ω, kreśli jakąś trajektorię na elipsoidzie. Lesiak nazywa ją „elipsoidą bezwładności”. Co to jest elipsoida? Możemy zajrzeć do słownika:
Kto się nie boi algebry, ten łatwo wyliczy półosie naszej „elipsoidy bezwładności”
a = √(2T/IX) , b = √(2T/IY) , c = √(2T/IZ).
Widać, że wraz ze wzrostem energii kinetycznej elipsoida rośnie. Gdy energię kinetyczną zwiększymy sto razy, elipsoida powiększy się dziesięć razy.
Prócz zasady zachowania energii mamy też zasadę zachowania krętu. W odróżnieniu od energii, która jest skalarem, kręt to wektor. Zachowanie krętu to zachowanie zarówno kierunku jak i wartości. Jednak, z jakichś tajemniczych powodów, wartość krętu jest chętniej zachowywana niż kierunek. Zachowanie kierunku jest dobre, ale jakby nie bardzo należy na nim polegać, zaś wartość, jak się wydaje, jest porządniejsza zachowuje się chętniej zgodnie z zasadami podręcznikowej fizyki. W ślad za Poinsotem zignorujmy zatem zachowanie nie całkiem zdyscyplinowanego kierunku i zajmijmy się jedynie zachowaniem wartości. Kwadrat długości wektora krętu na obrazku od Leśniaka oznaczony jest literką J2. To formułka (37a). To też jest równanie elipsoidy (tyle, że zmiennymi są tu (ωx ,ωy ,ωz), a nie (x,y,z) jak na obrazku ze słownika. I znów, porównując z ogólnym wzorem, możemy stwierdzić, że osiami tej „elipsoidy krętu” są
a = √(J2) /IX, b = √(J2) /IY, c = √(J2) /IZ
W czasie ruchu zachowane są zarówno energia kinetyczna T jak i J2. Zatem, w czasie ruchu, wektor ω biegnie na przecięciu dwóch elipsoid. I to właśnie wyeksploatował inżynier-matematyk Poinsot. Przecięcie dwóch elipsoid Leśniak nazywa „hodografem”. Gdzie indziej nazywa się to polhodia
Dla Leśniaka polhodia to okrąg na stożku (str 13 w wykładzie Leśniaka). O Poinsocie tak się dużo mówi, bowiem wydaje się, że znalezienie przecięcia dwóch elipsoid to nic trudnego. Tymczasem zaglądam do podręcznika Vladimir Rovenski, Geometry of Curves and Surfaces with MAPLE, Birkhäuser Basel (2000). Na str 91 znajdujemy zadanie:
(c) The sphere of radius R (with the center 0) intersects the ellipsoid with the axes a > b > c. Plot the intersection curves on the ellipsoid varying radius R of the sphere.
I co? Dalej jest wskazówka:
Hint. The best method for parametrizing these curves comes from mechanics, namely, from solutions of Euler's differential equations of the rotation of a rigid body about a fixed point in space
Czyli po polsku: najlepszą metodą znalezienia części wspólnej elipsoidy i sfery jest …. rozwiązanie równań Eulera dla obracającego się swobodnie bąka!
Hodografy czy polhodie będziemy już jednak malować w następnej notce. Miałem się też zająć stabilnością, jednak odkładam to na później, To później może przyjdzie a może nie przyjdzie – jak to z później bywa.
