Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk
945
BLOG

Dwa punkty widzenia - próba pogodzenia

Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 60

Słuszna droga idzie po linie, która nie jest rozpięta wysoko, ale tuż nad ziemią. Ludzie, zdaje się, więcej się o nią potykają, niż po niej chodzą.

Franz Kafka

Nasza Ziemia – bąk niemal symetryczny, wiruje wokół swojej osi symetrii. Zaś ta oś, miast stać w miejscu, jak Pan Bóg przykazał, przechodzić przez bieguny geograficzne, tej osi zachciewa się przemieszczać w środku Ziemi i wędrować z czasem wokół biegunów.

Teoria bąka symetrycznego coś takiego przewiduje. Wędrówka osi, precesja, to jeszcze nic w porównaniu z tym co może robić ciało niesymetryczne – może fikać. Póki co jednak chcemy zrozumieć problem łatwiejszy, problem traktowany niemal w każdym podręczniku mechaniki – problem bąka symetrycznego, a konkretnie: bąka symetrycznego swobodnego, obracającego się swobodnie wokół swego środka masy. Doszliśmy w poprzednich notkach do tego, że mamy dwie częstotliwości:

  1. Siedząc na bąku widzimy, że oś obrotu jest nachylona do osi symetrii pod stałym kątem i obiega oś symetrii z prędkością kątową ωp = (1-IZ/IX) ωZ – wyszło nam mniej więcej raz na trzysta dni

  2. Patrząc z układu inercjalnego w przestrzeni kosmicznej widzimy, że oś symetrii Ziemi obiega stałą oś wektora krętu z prędkością kątową L/IX . - wyszło nam mniej więcej raz na dzień.

A ja, z jakiegoś powodu, postanowiłem lepiej zrozumieć co się dzieje. No i utknąłem. Ale jest postęp. Zacząłem szukać w literaturze czy to tylko ja, czy może jeszcze ktoś w tym miejscu utknął. I znalazłem. Opiszę dziś część tego, co znalazłem. A znalazłem w podręczniku Davida Morina, „Introduction to classical mechanics”, Cambridge University Press, 2007.

Dwa punkty widzenia - próba pogodzenia

Opiszę teraz co tam znalazłem w „Uwadze 2” na str. 399. Wpierw jednak trochę przypomnienia, bo potrzebne nam będą formuły z poprzednich notek.

Będzie też jedna poprawka: zgodnie zogólnie przyjętymi zasadami kąt liczy się dodatnio gdy biegniemy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. By to uwzględnić prędkość kątową precesji ωp zdefiniujemy ze znakiem przeciwnym niż w poprzednich notkach zatem odtąd:

ωp = (IZ/IX-1)

Dla Ziemi, kiedy IZ>IX, ωp będzie więc dodatnie.

Do naszej sztywnej bryły, myślmy o Ziemi, mamy przywiązany obracający się z nią układ współrzędnych kartezjańskich x',y',z'. Jednostkowe wektory wzdłuż osi współrzędnych (wersory) dobrze jakoś oznaczyć. Oznaczmy je literkami i',j',k'. Wersory i',j', nie będą aż tak ważne, można je wybierać tak czy inaczej, bo nasz bąk w założeniu jest symetryczny, jednak wersor k', wzdłuż trzeciej osi, z', jest ustawiony wzdłuż osi symetrii bryły. Dla Ziemi moment bezwładności IZ, względem trzeciej osi, jest większy od dwóch pozostałych. Gdyby nasz bąk nie był przypłaszczony, jak Ziemia, ale był podłużny, jak wrzeciono, wtedy IZ byłby mniejszy od dwóch pozostałych.

Kręt L jest wektorem i w układzie przywiązanym do ciała ma składowe (IXωX,IYωY,IZωZ), zatem możemy zapisać (pomijając primy):

L = IXωXi+IYωYj+IZωZk= IXXi+ ωYj) + IZωZk.

(Pamiętajmy, że nasz bąk jest symetryczny, zatem IX= IY.) Ponieważ

ω = ω Xi+ ωYj+ ωZk,

 

mamy, jak łatwo sprawdzić, tożsamość:

L = IXω + (IZ-IX) ωZk

Wektory L, ω,k leżą więc w jednej płaszczyźnie.

Zapiszmy to inaczej, mianowicie jako

ω = L/ IX - ( IZ/IX-1) ωZk (1)

Widać stąd, że dla Ziemi, gdzie IZ>IX, wektor krętu L leży pomiędzy wektorem ω i wektorem osi symetrii k. Wkrótce nam się to przyda. Obecnie jednak opiszę jak mój problem omawia w specjalnej uwadze autor wspomnianego wyżej podręcznika, David Morin (oznaczenia dostosuję do naszych).

David Morin

Zacytuję dosłownie, bo warto wiedzieć jak inni na to patrzą.

Dwa punkty widzenia - próba pogodzenia

---------------------------

Uwaga 2. Stwierdziliśmy, że osoba stojąca na obracającej się bryle widzi, że L (a także ω) podlegają precesji z prędkością kątową ωp = (IZ/IX-1)ωZ wokół k. Ale stwierdziliśmy także, że osoba stojąca na układzie spoczywającym w przestrzeni widzi, że k (oraz ω) podlegają precesji z prędkością L/ IX wokół L. Czy te dwa fakty dają się pogodzić? Czyż nie powinniśmy otrzymać tej samej prędkości kątowej z każdego punktu widzenia? (Odpowiedzi: tak, nie)

Te dwie częstotliwości są, w samej rzeczy, zgodne, jak to można zobaczyć z następującego rozumowania. Rozważmy płaszczyznę (nazwijmy ją S) zawierające trzy wektory L, ω,k. Wiemy, że S obraca się względem ciała z częstotliwością ωpk. Zatem ciało obraca się z częstotliwością -ωpk względem S. Z drugiej strony wiemy, że obraca się z częstotliwością L/Ixwzględem układu stałego. Zatem prędkość kątowa ciała względem ustalonego układu wynosi (używając układu S jako pośredniego)

ωcałk= L/Ix- ωpk.

Ale dokładnie to mamy we wzorze (1). Zatem te dwie częstotliwości są w samej rzeczy zgodne.

Dla Ziemi Ixi Iz – są niemal identyczne, dlatego ωp = (IZ/IX-1)ωZ i L/IX są bardzo różne. L/IX jest w przybliżeniu równe L/IZ, co jest w zasadzie równe ωZ. Z drugiej strony ωp jest w przybliżeniu równe (1/300) ωZ. Zatem zewnętrzny obserwator widzi, że ω podlega precesji wokół swego stożka mniej więcej w tym samym tempie w którym wiruje Ziemia. Jednak niedokładnie w tym samym tempie, i to właśnie ta różnica powoduje, że obserwator usytuowany na Ziemi widzi, że ω podlega precesji z niezerowym ωp.

Tyle Morin. Czy jestem zadowolony? Poniekąd tak, bo jak widać ktoś inny zauważył mój problem i podjął wysiłek by te wątpliwości rozwiać. Ale czy rozwiał do końca? By rozwiać więcej i lepiej potrzebny jest wiatr z innego kierunku. I o tym będzie w przyszłej notce. Będzie o toczących się po sobie stożkach i talerzykach i o tym jak to jest z podręcznikami.

Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki. Katalog SEO Katalog Stron map counter Życie jest religią. Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem. Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone. Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić. Dla tych ludzi świat zgaśnie. Staną się dokładnie tym co dali życiu. Staną się jedynie snem w "przeszłości". Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości" Lista wszystkich wpisów  

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie