Oś ziemska się kołysze. Skąd się to kołysanie wzięło? Tego na pewno nie wiemy. Ani tego dlaczego się kołysze, ani tego dlaczego się kręci. Przyszedł wir, przyszła fala, przyszło kosmiczne tornado, zakręciło, zakołysało, no i teraz się kręci. Aż do następnej fali.
Żarty żartami, ale praca Sivarama i Aruna p.t. „Primordial Rotation of the Universe, Hydrodynamics, Vortices and Angular Momenta of Celestial Objects” tak się właśnie zaczyna:
Abstract: The origin of rotation or spin of objects, from stars to galaxies, is still an unanswered question. Even though there are models which try to explain this, none of them can account for the initial impulse that gave rise to this spin. ...
Streszczenie: Źródło rotacji czy wirowania obiektów, od gwiazd po galaktyki, jest pytaniem bez odpowiedzi. Chociaż istnieją modele usiłujące to wyjaśnić, żaden z nich nie zdaje sprawy z tego co było pierwotnym impulsem który był początkiem wirowania. ...
Intrdoduction
One of the biggest unanswered questions in astrophysics is “what is the origin of the rotation (angular momentum) or spin of all objects: from galaxies, stars, star clusters, etc.; and are they related to basic quantum properties of elementary particles?” ...
Wstęp
Jednym z najważniejszych pytań w astrofizyce, pytań na które nie znamy odpowiedzi, jest pytanie „co jest źródłem obrotu (krętu) czy wirowania wszelkich obiektów: od galaktyk, gwiazd, gromad gwiezdnych, itd.; i czy jest to związane z kwantowymi własnościami cząstek elementarnych?. …
No tak, to są pytania na wielką skalę. My zajmujemy się skalą małą, maleńką: chcemy zrozumieć precesję i wirowanie swobodnego bąka symetrycznego. Bo nasza Ziemia jest, w przybliżeniu, takim bąkiem. Choć tak całkiem swobodna ona nie jest (działają na nią różne siły), gdy zrozumiemy wirowanie obiektów swobodnych, to już będzie duży postęp.
Temat napoczęliśmy, znaleźliśmy wzór na częstość precesji w układzie związanym z bąkiem. Teraz chcemy taki wirujący i kołyszący się bąk opisać z układu inercjalnego w przestrzeni kosmicznej. Tu potrzebna jest matematyka, niespecjalnie trudna, taka jakiej się uczą górnicy, hutnicy, elektrotechnicy i lotnicy. Potrzeba nam będzie trochę formuł i nigdzie nie widziałem tego co nam trzeba zrobionego tak pięknie jak w wykładzie Tadeusza Lesiaka „Mechanika bryły sztywnej część II”. Jest dostępny w sieci. To i owo stamtąd skopiuję, jednak zalecam ściągnięcie, by móc mieć pod ręką. Czasem, być może, użyjemy innych oznaczeń, ale ogólnie, będę prowadził przez potrzebny nam fragment tego znakomitego wykładu.
Zacznijmy od przypomnienia katów Eulera i wyrażenia na prędkość kątową przy pomocy tych kątów. U Lesiaka tak to wygląda:
Lesiak Str. 11
Nasz obrazek kątów Eulera, w notce Katy Erosa, był taki:
Kąty Eulera
Może jeszcze lepiej widać sens katów Eulera na takim obrazku, wziętym z Wiki:
Kąty Eulera – Bąk symetryczny
Lotnicy kątów Eulera nie lubią. Oni mają swoje yaw,pitch, roll
Bąk sterów, jak samolot nie ma, a my latamy na bąku. Dlatego potrzebne nam są phi,theta, psi – precesja, nutacja, wirowanie.
Dalej znajdujemy u Lesiaka stronę ze związkiem prędkości kątowej widzianej z układu związanego z bryłą z katami Eulera:
Lesiak Str. 12
My też wyprowadziliśmy taką formułę w notce Enigma omegi:
W poprzedniej notce, Precesja symetryczna, precesję i obrót bąka napoczęliśmy. Na bąk nie działają siły zewnętrzne, wisi sobie nieważki w pustej przestrzeni, zatem jego wektor krętu jest stały w czasie. Zaś oś bąka ma stałe w czasie nachylenie do wektora krętu. Nasz układ laboratoryjny w przestrzeni wybierzmy tak by oś z pokrywała się z kierunkiem krętu. Wtedy nachylenie osi bąka do kierunku krętu to nic innego niż nasz kąt theta. Ten kąt jest stały w czasie. Wyprowadziliśmy też formuły na zmianę w czasie składowych wektora prędkości kątowej w układzie bąka. Przypomnę:
ωp = (1-IZ/I) ωZ
ωX(t)= ωX(0) cos ( ωpt ) + ωY(0) sin ( ωpt )
ωY(t)= -ωX(0) sin ( ωpt ) + ωY(0) cos ( ωpt )
ωZ(t) = ωZ(0)
A jak ma Lesiak? Na str 10 ma coś takiego:
Lesiak, Str 10
Jego duże Omega jest takie same jak nasze ωp, to miło. Jego formuły na zależność od czasu ωX(t) i ωY(t) wyglądają trochę inaczej niż nasze. Jednak prostą trygonometrią może przedtsawić nasze formuły podobnie do jego:
ωX( t )= A sin ( ωp( t – t0 ) )
ωY( t )= A cos ( ωp( t – t0 ) )
Tak pewnie też powininem był napisać w poprzedniej notce, gdy pisałem ogólne rozwiązanie równań Eulera dla bąka symetrycznego: „Są to równania na ruch obrotowy ze stałą prędkością kątową. Możemy od razu napisać rozwiązanie: „
Popatrzmy dalej co robi Lesiak. Proponuje wziąć stosunek
ωX(t)/ωY(t)= tan ( ωp(t-t0) )
Z drugiej strony kąt theta jest stały w czasie, pochodna thety po czasie, theta z kropką, jest zerem, to upraszcza formuły w zielonym prawy dolnym rogu na str 12. Drugie człony w dwóch pierwszych linijkach znikają. Dzieląc ωX/ωY dostajemy tan( psi). Mamy zatem
tan ( ωp(t-t0) ) = tan (psi)
Zatem musi być
psi(t) = ωp(t-t0) modulo pi
Stąd psi z kropką jest równe ωp:
d psi(t)/dt = ωp
Lesiak na str 13 ma tak samo, co pokazuje różowa strzałeczka (ona może nie jest różowa - mam problem z nazwami kolorów, tam gdzie jest "z 35c").
Lesiak, str 13
Korzystamy teraz z ostatniego żółtego w lewym górnym rogu i obliczamy phi z kropką. Wychodzi nam stałe
d phi(t)/dt =(ωZ(0) - ωp)/cos(theta)
Nasz cos(theta) to rzut kierunku krętu na oś z w układzie bąka, czyli
cos(theta) = IZ ωZ(0)/L, gdzie L to długość wektora krętu. Korzystając z formuły na ωp znajdujemy, że
(ωZ(0) - ωp)/cos(theta) = L/IX
Pojawia się problem, bowiem z obrazka z podpisem Kąty Eulera – Bąk symetryczny wynika, że dphi(t)/dt to prędkość kątowa precesji. Siedząc na bąku obserwowaliśmy precesję z prędkością kątową ωp, zaś patrząc z laboratorium otrzymujemy wynik L/IX . Jak to pogodzić? Jak to zrozumieć? Jeśli siedząc na bąku widzimy, że nasza oś z obraca się względem osi bąka z prędkością katową ωp, czy nie powinno być tak, że patrząc z laboratorium, zobaczymy, że oś bąka obraca się względem naszej osi z prędkością kątową minus ωp?
Czy to może być, że nasz okres precesji naszej Ziemi jest inny widziany antropomorficznie z Ziemi niż widziany obiektywnie z kosmosu? Jeśli tak, to jak duża jest ta różnica? I która wartość jest „prawdziwa”?
I tak tą notkę zaczynałem: gdy idzie o wirowanie, jest wiele pytań czekających na odpowiedź.
