Precesja symetryczna

Zanim zajmiemy się na poważnie swobodną nakrętką Dżanibekowa, tą z uszami czy skrzydełkami, zajmijmy się najpierw poczciwą swobodną nakrętką bez uszów. Nazywa się to zwykle: bąk symetryczny lub bąk Eulera. Jest to bryła sztywna w której dwa główne momenty bezwładności są sobie równe.

Na przykład coś takiego:

Trzeci moment bezwładności jest inny, może być od tych dwóch większy, ale może być mniejszy. Jak sobie wyobrazić taką bryłę z trzecim momentem bezwładności małym-maleńkim? To po prostu cienki kij. Gdy będzie dostatecznie cienki, wtedy jego moment bezwładności względem jego długiej osi będzie znikomy. W granicy może być wręcz zerowy. Na drugim krańcu jest bąk symetryczny płaski, dysk nieskończenie cienki. Lub dwie pary równych mas – na krzyż. Wtedy trzeci moment bezwładności jest sumą tych dwóch sobie równych.

Chcemy wiedzieć jak taki bąk symetryczny zachowuje się w przestrzeni kosmicznej, jak obraca się wokół swego środka masy? W końcu nasza Ziemia ma podobny kształt, zatem interesuje nas to z powodów zupełnie przyziemnych.

Oczywiście moglibyśmy zajrzeć do Wikipedii, jednak lepiej wypróbować nasze muskuły samemu. Nie tak od razu wszystko, ale po trochę. Gdy zrozumiemy dobrze gajkę bez skrzydeł, łatwiej nam będzie pojąć osobliwości gajki skrzydlatej.

Naszym punktem wyjścia przy studiowaniu bąka Eulera są oczywiście równania Eulera. Przypomnijmy – cytuję z Portalu wiedzy:

Eulera równanie ruchu obrotowego, układ różniczkowych równań opisujących ruch bryły sztywnej:

I_Xω_X’+(I_Z-I_Y)ω_Yω_Z = 0.

I_Yω_Y’+(I_X-I_Z)ω _Zω_X = 0.

I_Zω_Z’+ +(I_Y-I_X)ω _Xω_Y = 0.

Gdzie I z indeksem (x,y lub z) oznacza moment bezwładności bryły względem osi x,y,z, ω_X, ω_Y, ω_Z - chwilowe prędkości kątowe obrotu (zdefiniowane w haśle Eulera kąty), primowanie oznacza pochodne czasowe.

Po prawej stronie położyłem zera, bo zakładamy, że żadne siły zewnętrzne na nasz bąk nie działają. Przypomnijmy, że tutaj ω_X, ω_Y, ω_Z to składowe prędkości kątowej w układzie przywiązanym do ciała. Zakładamy, że dwa momenty bezwładności są sobie równe. Przypuśćmy, że są to te dwa pierwsze, oznaczmy ich wspólną wartość literką I:

I_X = I_Y = I

Wtedy nasze równania przybierają postać:

ω_X’ = (1 - I_Z/I ) ω_Yω_Z .

ω_Y’ = - (1 - I_Z/I ) ω_Zω_X .

ω_Z’ = 0.

Pochodna po czasie z ω_Z jest zerem, zatem ω_Z jest stałe w czasie. To miło. Wektor L momentu pędu w układzie przywiązanym do ciała ma składowe ( I ω_X, I ω_Y, I_Zω_Z). Jego długość L jest stała w czasie. Jego rzut na trzecią oś to I_Zω_Z – jest zatem stały. Ma więc L stały kąt z osią bąka. Pamiętajmy, że wektor momentu pędu jest stały w przestrzeni. Jego kierunek może być na przykład kierunkiem na odległą gwiazdę. Gdy patrzymy z wirującego ciała, ta gwiazda będzie zataczać kręgi, będąc pod stałym kątem do naszej osi. Ten kąt możemy znaleźć. Cosinus tego kąta to I_Zω_Z/L. Mamy więc precesję. W przestrzeni to nasza oś „z” zatacza kręgi wokół stałego kierunku wektora momentu pędu. Ale jaka jest częstotliwość tej precesji? Nasze równania na składowe x,y wektora ω sugerują wprowadzenie wielkości (stałej w czasie) ω_p :

ω_p = (1-I_Z/I) ω_Z

Teraz

ω_X’ = ω_p ω_Y

ω_Y’ = -ω_p ω_X .

Są to równania na ruch obrotowy ze stałą prędkością kątową. Możemy od razu napisać rozwiązanie:

ω_X(t)= ω_X(0) cos ( ω_pt ) + ω_Y(0) sin ( ω_pt )

ω_Y(t)= -ω_X(0) sin ( ω_pt ) + ω_Y(0) cos ( ω_pt )

Rzut wektora momentu pędu na płaszczyznę prostopadłą do osi bąka zatacza kręgi z prędkością katową ω_p . To jest prędkość precesji. Euler kombinował, że Ziemia jest symetrycznym bąkiem, trochę przypłaszczonym, wyliczył nasze ω_p dla Ziemi – jak umiał, i wyszło mu, że oś Ziemi może zataczać kręgi na niebie - jeden krąg na 355 dni. Astronomowie jakoś niczego takiego nie widzieli, dopiero Chandler wyczaił kołysanie osi Ziemi z okresem 435 dni, czyli coś koło tego. Że nie 355 a 435 zwalono na fakt, że Ziemia nie jest aż tak bardzo sztywna jak bąk, że trochę cieknie. Zaś precesja osi Ziemi z okresem 26000 lat to już jest inna sprawa – patrz Ruch obrotowy Ziemi.

W praktyce to ta oś Ziemi dziwnie wędruje, trochę tak jak mechanika ciał sztywnych i mniej sztywnych przewiduje, a trochę jak chce