Tak wyszło, że wypada porozmawiać. Spokojnie, bez emocji. To znaczy z emocjami, bo temat jest mocno emocjonalny, ale z emocjami pod kontrolą. Rzecz idzie o obrotach ciał. Tych sztywnych. Skąd się obroty wzięły to trudne pytanie. Jednak skoro już są, należy je zrozumieć. A zrozumieć, w dzisiejszych czasach, oznacza: umieć zaprogramować. Potrzebny więc program komputerowy. Takie programy piszą ludzie zajmujący się wszystkim co lata, w szczególności sztucznymi satelitami. Takie programy piszą ludzie zajmujący się robotyką. Robot musi mieć obroty w małym palcu – inaczej się przewróci i wszystko dokoła poprzewraca. Programy opisujące różne aspekty ruchu obrotowego oparte są na formułach matematycznych. Bez matematyki nie ma praktyki. A zaczęło się od Kartezjusza. By coś w przestrzeni opisać matematycznie wygodnie jest wprowadzić układ współrzędnych. Wtedy wiele wielkości odnosimy do tego wybranego układu współrzędnych. Oczywiście wybór takiego a nie innego układu współrzędnych jest kwestią umowy. Ważne jest zatem by wiedzieć jak liczby opisujące dane wielkości należy przetransformować przechodząc do innego układu współrzędnych – trzeba znać prawa transformacji. Studiowanie różnych praw transformacji prowadzi do pojęcia wektorów i tensorów. Bez tego ani rusz, żaden inżynier się nie obejdzie. Przesadziłem oczywiście. Inżynier może się i obejdzie, ale ktoś kto pisze trójwymiarowe gry komputerowe - ten to już wektory i tensory musi umieć. Tak się bowiem imituje rzeczywistość.
Gdy mamy ciało sztywne, bryłę sztywną, interesuje nas jej środek masy. Ten środek może się mieścić w ciele lub być poza nim. Jest to niejako punkt umowny, matematyczny, a jednak ważny, bardzo ważny. Dla danego ciała trzeba umieć ten środek masy znaleźć. Dla ciał rozciągłych o nietrywialnym kształcie bez całkowania się nie obejdzie. Po to między innymi rachunek całkowy wymyślono by takie zadania móc rozwiązywać.
Gdy bryła sztywna się porusza, jej ruch możemy rozłożyć na dwa elementy – ruch środka masy i ruch bryły względem środka masy. My zajmujemy się wyłącznie ruchem obrotowym. Interesuje nas ruch bryły przy nieruchomym środku masy. Oczywiście gdy bąk wiruje na stole jego środek masy nie musi być w spoczynku. Takimi skomplikowanymi sprawami się jednak nie zajmujemy. Zajmujemy się obrotami bryły sztywnej względem środka masy.
By móc taki ruch obrotowy opisać matematycznie i ewentualnie zasymulować na komputerze, potrzebny nam układ współrzędnych. Wybieramy więc kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni, wybieramy też kartezjański układ współrzędnych przymocowany do ciała i obracający się razem z tym ciałem. Współrzędne danego punktu w układzie przestrzennym, laboratoryjnym, oznaczamy literką r=(x,y,z) , współrzędne tego samego punktu w układzie przywiązanym do ciała oznaczamy literkami r'=(x',y',z').
Związek pomiędzy jednymi a drugimi współrzędnymi dany jest formułą
r' = A r
Macierz A nazywa się macierzą orientacji (ang. attitude matrix). Jest to macierz ortogonalna o wyznaczniku 1. W szczególności macierz odwrotna jest równa macierzy transponowanej, zatem
r = AT r'
Jeśli nasz punkt jest punktem ciała, wtedy jego r'=(x',y',z') są w czasie stałe, natomiast współrzędne w układzie laboratoryjnym zmieniają się w czasie. Ta zmiana nie jest byle jaka. Sztywność bryły oznacza, że zależność r od czasu jest taka:
r(t) = A(t)Tr'.
Oczywiście macierz A(t) zależy od wyboru układu laboratoryjnego i od wyboru układu przywiązanego do bryły. Taką zależność jednak łatwo wyliczyć i w razie potrzeby wziąć pod uwagę.
Jest ważne by rozumieć, że r i r' to nie są dwa różne wektory. To są współrzędne tego samego punktu w dwóch różnych układach współrzędnych.
Pochodna dr(t)/dt to nic innego niż prędkość punktu, to znaczy składowe wektora prędkości w laboratoryjnym układzie. Dla ustalonego punktu bryły mamy więc
v(t) = dr(t)/dt = dAT(t)/dt r'= dAT(t)/dt A(t) r(t)
Wprowadzamy więc macierz W(t)
W(t) = dAT(t)/dt A(t)
v(t) = dr(t)/dt = dAT(t)/dt r'= W(t) r(t)
Macierz W(t) jest automatycznie macierzą antysymetryczną. Wynika to ze zróżniczkowania tożsamości
AT(t)A(t) = macierz jednostkowa
Różniczkując dostaniemy:
dAT(t)/dt A(t) + AT(t)dA(t)/dt = 0
czyli
W(t)+WT(t) = 0,
czyli
WT(t) = - W(t).
Matematyka uczy nas, że istnieje odpowiedniość pomiędzy macierzami antysymetrycznymi a wektorami. Mianowicie w trzech wymiarach każdemu wektorowi w=(w1,w2,w3) można przyporządkować macierz antysymetryczną W(w) zbudowaną tak:
W(w) =
0, -w3, w2
w3, 0, - w1
-w2, w1, 0
Gdy tak zrobimy, wtedy równanie
v(t) = W(t) r(t)
w którym występuję antysymetryczna macierz W(t) możemy zapisać jako
v(t) = w(t) x r(t)
gdzie występuje wektor w i symbol iloczynu wektorowego x. Taki związek jest „naturalny”, można bowiem pokazać, czystą algebrą, że dla każdej macierzy A ortogonalnej o wyznaczniku równym 1 zachodzi formuła
W(Aw) = AW(w)AT.
Jest to bardzo użyteczna formuła. W naszym przypadku wektor prędkości kątowej w jest odniesiony do układu laboratoryjnego. A jak będą wyglądać składowe tego wektora w układzie związanym z ciałem? Według naszych reguł powinno być:
w' = Aw.
Jak będzie wyglądać wtedy macierz antysymetryczna W' zbudowana ze składowych wektora w'? Będzie to
W'=W(w')=W(Aw)=AW(w)AT=AdAT/dt AAT =AdAT/dt
Dobrze mieć takie formułki pod ręką. O macierzy W mówimy, że to tensor.
Użyłem tu literek W i w. Normalnie używa się greckiego omega. Jednak w jest do omegi podobne a łatwiej je pisać.
Macierz W(t) nazywamy macierzą chwilowej prędkości kątowej, wektor w(t) nazywamy wektorem chwilowej prędkości kątowej.
Oczywiście moglibyśmy umówić się inaczej. Jednak tak się przyjęło, tak jest wygodnie.
Z równania i z własności iloczynu wektorowego widać, że gdy r(t) jest proporcjonalne do w(t), wtedy v(t) = 0. Zatem punkty na osi wyznaczonej przez wektor chwilowej prędkości kątowej mają chwilową prędkość liniową v(t) zerową. Jednak może to być mylące, bo na osi wyznaczonej przez w może nie być żadnych punktów naszego ciała! Pomyślmy o pustym w środku cylindrze obracającej się względem swej osi. Matematycznie oś wtedy jest, fizycznie jest tam pustka. Trochę tak jak ze środkiem masy.
Ruch obrotowy swobodnej bryły sztywnej wokół środka masy opisują równania Eulera. Wyprowadzaliśmy je. Sa to równania dla wektora prędkości kątowej w' w układzie związanym z ciałem. Przypomnijmy, że tak wyglądają:
I1 dw1'/dt = (I2- I3) w2' w3'
I2 dw2'/dt = (I3- I1) w3' w1'
I3 dw3'/dt = (I1- I2) w1' w2'
Zakładamy tu, że osie układu związanego z ciałem są dobrane tak, że tensor momentu bezwładności jest diagonalny, zatem osie tego układu są osiami głównymi.
Powiedzmy, że równania Eulera rozwiążemy. I co z tego? Co nam to da? Interesuje nas jak ruch układu będzie wyglądał w naszym laboratorium. Z tego jak wygląda i co robi wektor prędkości kątowej widziany z ciała nie wiele się dowiadujemy. Chyba, że tym ciałem jest Ziemia a my na tej ziemi mieszkamy. Ale nawet wtedy interesuje nas co ta Ziemia robi w kosmosie, jak się zachowuje w stosunku do gwiazd. By opisać ruch obrotowy ciała musimy znać macierz orientacji A(t). A jak ją znaleźć? Na przykład tak: rozwiązujemy najpierw równania Eulera i znajdujemy w'(t). Potem zaś, gdy już w'(t) mamy, rozwiązujemy równania na macierz orientacji co je pisaliśmy wyżej:
W(w') = A dAT/dt
Lub, po pomnożeniu z lewej przez AT i transponowaniu obu stron:
dA(t)/dt = -W(w'(t)) A(t)
Gdy w'(t) jest znane (bo rozwiązaliśmy równania Eulera), wtedy zaczyna się drugi etap pracy: rozwiązać równania na macierz orientacji A(t). Robi się to albo wyrażając macierz orientacji przez kąty Eulera, albo inaczej, na przykład używając kwaternionów.
W następnej notce zajmiemy się tym problemem dokładniej.
