Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk
1234
BLOG

Bąkamy na okrągło

Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 135

Przy swobodnych obrotach wokół swego środka masy sześcian i molekuła metanu zachowują się jak idealna kula. Ich wszystkie trzy główne momenty bezwładności są sobie równe. Tensor bezwładności jest wielokrotnością tensora jednostkowego, a to nie zależy od wyboru trzech prostopadłych osi. Każde trzy osie będą dobre.

No to jak się taki bąk sferyczny obraca? By na to pytanie odpowiedzieć musimy wrócić do fizyki. Tylko do której? Tu mamy wybór. Możemy wrócić do prawa zachowania energii i krętu, ale też możemy wystartować od równań Eulera. Prawa zachowania energii i krętu z równań Eulera wynikają.

Wróćmy do praw zachowania. Wiemy, że kręt jest zachowany. A co to takiego ten kręt? Wyprowadzaliśmy to. W układzie laboratoryjnym, w tym w którym kręt jest zachowany mamy związek

L = I omega.

L oraz omega to wektory (pseudowektory), I to macierz tensora bezwładności. Gdy I jest wielokrotnością macierzy jednostkowej, wtedy wektor L jest po prostu proporcjonalny do wektora omega, ze stałym współczynnikiem. Skoro wektor L nie zmienia się w czasie, zatem i wektor omega nie zmienia się w czasie. Prędkość kątowa ma stały kierunek i stałą wartość. Nasze ciało obraca się jednostajnie wokół ustalonej w przestrzeni osi. Której osi? No tej, wokół której się obraca. Ktoś/coś kiedyś to ciało w ruch wprawił, musiał to być ktoś inteligentny, bo z nieskończonej liczby możliwych kierunków wybrał właśnie taki a nie inny. Przecież bez powodu nic się w przyrodzie nie dzieje. Dzieje się? Rządzi przypadek? Nieważne.

No dobrze, prędkość kątowa jest stała. Ale co to znaczy? Aby odpowiedzieć na pytanie co to znaczy musimy wrócić do naszej definicji prędkości kątowej. I tu już przestajemy dreptać w miejscu, trzeba poskakać. Przy skokach zaś zawsze można się potknąć i rozbić sobie nos.

Omega pojawiła się u nas w notce Orły ze Lwowa i z Petersburga. Przypomnijmy stamtąd:

Jeśli r'=(x',y',z') to wektor kolumienka współrzędnych jakiegoś punktu w ciele, zaś r=(x,y,z) to wektor kolumienka tego samego punktu w układzie laboratoryjnym, wtedy

r' =A(t) r oraz r=A(t)Tr'

Bąkamy na okrągło

Tak się pojawiła omega.

Oznaczmy literką Omega macierz po prawej stronie. Omega jest antysymetryczna, Omega = -OmegaT, zbudowana ze składowych wektora omega. Mamy więc:

dA(t)T/dt A(t) = Omega

Możemy obie strony tego równania pomnożyć z prawej przez A(t)T. Dostaniemy równanie:

dA(t)T/dt = Omega A(t)T

Lub transponując obie strony:

dA(t)/dt = -Omega A(t)

Macierz A(t) ma tą własność, że jej pochodna jest do niej proporcjonalna ze stałym współczynnikiem. Taką własność ma funkcja wykładnicza. Rozwiązaniem naszego równania, przy założeniu, że dla t=0 mamy macierz jednostkową, jest funkcja wykładnicza:

A(t) = exp ( - t Omega)

By zobaczyć o co idzie wybierzmy nasze osie tak, by wektor omega był ustawiony w kierunku osi z. Zatem omegax=omegay=0, omegaz = omega.

Każę programowi Mathematica obliczyć teraz exp (- t Omega). Odpowiedź jest taka: A(t)=

cos t omega, sin t omega,0

-sin t omega,cos t omega,0

0,0,1

Czyli

x'(t) = cos(t omega) x + sin(t omega) y

y'(t) = -sin(t omega) x + cos(t omega) y

z' = z.

I na odwrót

x(t) = cos(t omega) x' - sin(t omega) y'

y(t) = sin(t omega) x' + cos(t omega) y'

z = z'.

Układ primowany, przywiązany do ciała, obraca się jednostajnie wokół osi z (ustawiliśmy ją zgodnie z kierunkiem zachowanego wektora krętu L.) Moglibyśmy do tego samego wniosku dojść wyrażając omega przez kąty Eulera i rozwiązując tak otrzymane równania różniczkowe, jednak nie byłoby to takie natychmiastowe.

Dopiero teraz możemy powiedzieć, że problem swobodnego bąka sferycznego rozwiązaliśmy do końca. Możemy teraz przesiąść się na większy rowerek, ale wciąż młodzieżowy, by w następnym kroku rozwiązać do końca problem bąka symetrycznego, z dwoma momentami bezwładności równymi. Ale to już jest poważniejsza wyprawa. Wybierzemy się tam.

Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki. Katalog SEO Katalog Stron map counter Życie jest religią. Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem. Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone. Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić. Dla tych ludzi świat zgaśnie. Staną się dokładnie tym co dali życiu. Staną się jedynie snem w "przeszłości". Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości" Lista wszystkich wpisów  

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie