W poprzedniej notce udaliśmy się do Krakowa, do Akademii im. Stanisława Staszica, na Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki. Zajrzeliśmy do szuflad pani profesor Katarzyny Zakrzewskiej i tam wyczailiśmy slajdy o dynamice bryły sztywnej.Dla nas w sam raz. Świetnie przygotowane, dobra robota. Czemu nie skorzystać z gotowca skoro jest? Ma to dodatkową zaletę: nie przywiązujemy się do jakichś jednych oznaczeń, jednej konwencji, stajemy się „obywatelami świata”, uniwersalni. Przez to rośnie nasza cena. Przez to rośnie Wasza cena!
No dobrze, dość tych podpuszczanek. Przecież nie robimy tego dla przyjemności, robimy to z obowiązku. Bo naszym obowiązkiem jest zrozumienie efektu Dzhanibekova. Po pierwsze to rosyjski kosmonauta, po drugie w kosmosie coś ciekawego wypatrzył, coś ciekawszego od koziołkujących rakiet tenisowych. Wypatrzył mianowicie fikajacą nakrętkę, i to fikającą w sposób wielce nieprzyzwoity. Kiedy nasza Ziemia tak fiknie będziemy mieć prawdziwą frajdę. A mi osobiście idzie także o coś innego: Krzysiek Misiek przed miesiącem czy dwoma grzecznie poprosił, a ja obiecałem, że efekt wyjaśnię. Czyli dla mnie to sprawa honoru. A jak Ziemia koziołka fiknie to co nam zostanie? Tylko co najwyżej honor! Normalnie do honoru nie przykładam wielkiej wagi. Wole hasła typu „prawda” i „sprawiedliwość” (co do „równości” już nie jestem taki pewny). Ale tym razem, skoro honor wiąże się z wektorami i tensorami, z bezwładnością i z krętem – trzeba się honoru trzymać.
Mamy wyjaśnić efekt kosmicznego kręciołka, tego z poprzednich notek. Kluczem są równania ruchu dla ciała sztywnego na które nie działają żadne siły. Równania te zawdzięczamy Eulerowi. Równania dają się rozwiązać, ruch z nich wynikający wymodelować, wraz z interesującymi nas fikołkami. Te fikołki są w równaniach, choć nikt ich tam jakoś specjalnie nie przyuważył. Przyuważył dopiero Dzhanibekov odkręcając śrubę. Wtedy dopiero ludzie do znanych od wieków równań wrócili i stwierdzili: faktycznie, jakoś nie przyszło nam do głowy by sprawą się zająć i by z efektu zrobić dzieło sztuki. Bo dziełem sztuki efekt jest, niewątpliwie.
Kluczem do efektu są równania Eulera, ale kluczem do równań Eulera jest prawo zachowania momentu pędu, czyli, po polsku, krętu.
Skoro moment pędu jest kluczem, to jest ważny. Kto ma klucz, kto umie kluczem operować, ten jest panem sytuacji. W poprzedniej notce skorzystaliśmy ze slajdów górniczo- hutniczych i doszliśmy do ostatniej formuły
L po lewej to właśnie wektor (pseudo-wektor) momentu pędu, ten zachowany, ten najważniejszy ze wszystkich, ten kręt, kręt bryły sztywnej. Po prawej mamy masy, ery i omegi. Omega to prędkość kątowa naszego ciała, to wektor, no pseudo-wektor, prędkości kątowej. Gdy ciałio się obarca, ery i omegi będą na ogół zmieniać się w czasie. Ale muszą się zmieniać w czasie tak, by trzy składowe wektora L, tego po lewej stronie, w czasie się nie zmieniały. Na tym właśnie polega zasada zachowania momentu pędu (krętu).
Po prawej stronie, w nawiasie kwadratowym mamy dwa człony, a pomiędzy nimi znak minus. W każdym z członów występuje omega, w pierwszej potędze. Czyli lewa strona zależy liniowo od omegi. Omega jest wektorem i L jest wektorem. Liniowa zależność pomiędzy wektorem po prawej a wektorem po lewej odbywa się przez działanie macierzą. Nasze wektory mają każdy trzy składowe, zatem macierz musi być 3x3. Ta macierz jest zbudowana z m-ów i erów. Nazywa się to macierzą tensora bezwładności, i oznacza literką I. I tak dochodzimy do slajdu z numerem 11:
wektor L po lewej to wynik działania macierzy I na wektor omega po prawej. Zaś elementy macierzy I, jest ich 9, dane są formułami
I to jest właśnie tensor momentu bezwładności. Nawet Wikipedia go zna, niesamowite. W samej rzeczy o samym ciele możemy kompletnie zapomnieć gdy wyliczyliśmy jego tensor bezwładności (tak się to też czasami określa). To macierz symetryczna, 9 liczb, czyli sześć istotnych (trzy na przekątnej, plus 2 plus1). Cała istotna informacja o bryle sztywnej tu jest ukryta, choćby nie wiem jak skomplikowany kształt nasza bryła miała!
Nawet na Politechnice Wrocøawskiej tego uczá:
Tym się będziemy musieli zająć dokładniej, bo to klucz do klucza do klucza! A górnicy i hutnicy poświęcają temu kilka jeśli nie kilkanaście slajdów. W pocie czoła obliczają ten tensor dla różnych ciał. Za złe obliczenia na kolokwium dostają złe oceny. My do tego dopuścić nie możemy. Musimy umieć przynajmniej tyle ile umieją górnicy i hutnicy. Trzymać z nimi sztamę. Dawać dobry przykład pracowitości, dodawać otuchy. I tak zrobimy.
