Przyjęło się wektor prędkości kątowej oznaczać literką grecką literką omega. I tej umowy będę się trzymał. Przypomnę sytuację tak jak zostawiliśmy ją na końcu poprzedniej notki. Mamy układ laboratoryjny, osie (x,y,z). Mamy też układ przytwierdzony do obracającego się ciała, osie (x',y',z'). Położenie osi układu obracającego się w stosunku do laboratoryjnego opisane jest trzema katami Eulera phi,theta,psi. Związek pomiędzy składowymi wektora r=(x,y,z) w układzie laboratoryjnym, a składowymi r'=(x',y',z') tego samego wektora w układzie obracającym się dany jest wzorem
r'=Ar
gdzie A jest macierzą 3x3 wyrażoną przez kąty Eulera.
Gdy ciało się obraca, przy ustalonym punkcie (wygodnie nam tu jest wybrać za ten punkt środek masy ciała), wtedy kąty są funkcjami czasu. Gdy ustalimy punkt w ciele, czyli współrzędne (x',y',z') ustalamy, wtedy wektor r(t) współrzędnych tego punktu widzianych w laboratorium zmienia się. Otrzymujemy
v(t)=dr(t)/dt= omega(t) x r(t)
gdzie omega(t) – zmienny w czasie wektor prędkości kątowej, wyraziliśmy przez kąty Eulera i ich pochodne:
I na tym zakończyliśmy poprzednią notkę Orły ze Lwowa i z Petersburga. Fizycy, wykładając, piszą zazwyczaj v= omega x r,opuszczając zależność od czasu, mając nadzieję, że rozumie się samo przez się co zależy od czasu. Czasem się rozumie z czasem nie. Przyjrzyjmy się tej uproszczonej formule:
v= omega x r .
Chwilowa oś obrotu:
Mamy tu iloczyn wektorowy. Gdy kierunek wektora r jest ten sam co kierunek wektora prędkości kątowej omega, wtedy iloczyn wektorowy tych dwóch wektorów jest równy zeru. Czyli v=0. Znaczy, punkty leżące na osi omega mają, w chwili t, prędkość równą zeru. Linia skierowana wzdłuż wektora omega nazywa się chwilową osią obrotu. Za chwilę ona może być inna, czyli nic się względem niej nie zdąży obrócić, niemniej tak się przyjęło, by linię tą nazywać chwilową osią obrotu.
Potrzebne nam będzie znalezienie formuły na omega w układzie obracającym się. Ogólnie związek pomiędzy współrzędnymi wektorów w dwu układach dany jest formułą:
r'=Ar
Czyli by znaleźć składowe omega' trzeba na składowe wektora omega podziałać macierzą A. Macierz A jest trochę skomplikowana i składowe wektora omega też nadzwyczaj proste nie są (patrz wzory na tablicy powyżej). Zatem trzeba się trochę napracować (za mnie pracuje komputerek). Wynik, szczęśliwie, okazuje się prosty. Oto on:
Porównując z tym co znajdujemy w podręczniku Landau-Lifszyc:
widzimy, że, choć inną metodą, otrzymaliśmy to samo. To miłe.
Jest jeszcze formuła, która nam będzie potrzebna. Powiedzmy, że mamy wektor, nazwijmy go L, który ma stałe współrzędne w laboratorium. Widziany z obracającego się układu będzie miał współrzędne L' zmienne w czasie. Ale jak zmienne?
Mamy L'(t) = A(t)L. Różniczkujemy po czasie:
dL'(t)/dt = dA(t)/dt L = dA(t)/dt A(t)T L'(t)
Każemy komputerowi wyliczyć dA(t)/dt A(t)T. On wylicza i co się okazuje? Okazuje się, że
dL'(t)/dt = -omega'(t) x L'(t)
Pojawiło się tu wyliczone poprzednio znajome już nam omega' – współrzędne wektora prędkości kątowej w obracającym się układzie. Pojawiło się z minusem! Tak prosto wychodzi. Przysięgam!Pracę wykonał za nas komputer. Oczywiście moglibyśmy ten wynik otrzymać i bez komputera, sprytnie kombinując. Jednak w XXI wieku kombinować nam się nie chce – gdy nie musimy. A gdy musimy – okazuje się, że się kombinowania oduczyliśmy.
