Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk
1175
BLOG

Orły ze Lwowa i z Petersburga

Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 83

Orzeł – król ptaków. Unosi się w powietrzu majestatycznie i jakby bez żadnego wysiłku:

Orły ze Lwowa i z Petersburga

Kto z nas by tak nie chciał. I nie tylko o latanie tu idzie. Każde nasze świadome i twórcze działanie – oby było majestatyczne i bez wysiłku. Tak działa geniusz. A każdy z nas ma w sobie geniusza. W poprzedniej notce wprowadziłem kąty Eulera. Ten Leonhard Euler to był geniusz.

Z Wikipedii:

Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei, zm. 18 września 1783 w Petersburgu) – szwajcarski matematyk i fizyk; był pionierem w wielu obszarach obu tych nauk. Większą część życia spędził w Rosji i Prusach. Jest uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii[1].

Dokonał licznych odkryć w tak różnych gałęziach matematyki jak rachunek różniczkowy i całkowy oraz teoria grafów. Wniósł duży wkład w rozwój terminologii i notacji matematycznej, szczególnie trwały w dziedzinie analizy matematycznej. Jako pierwszy w historii użył na przykład pojęcia i oznaczenia funkcji[2]. Opublikował wiele ważnych prac z zakresu mechaniki, optyki i astronomii.

Euler jest uważany za czołowego matematyka XVIII wieku i jednego z najwybitniejszych w całej historii. Oto przypisywane Laplace'owi zdanie wyrażające wpływ Eulera na matematykę:
 

Czytajcie Eulera, czytajcie go – jest mistrzem nas wszystkich[3].

Uczony ten należy do grona najbardziej twórczych – jego dzieła zapełniłyby 60-80 tomów kwarto[4].

Francuski matematyk, fizyk, astronom i polityk François Arago tak o Eulerze pisał:

Wydaje się, że liczył bez żadnego wysiłku, tak jak człowiek oddycha, tak jak orzeł unosi się w powietrzu.

Eulerowi zawdzięczamy m.in. mechanikę ciała sztywnego i mechanikę ośrodków ciągłych. My tutaj aktualnie chcemy dojść do równań Eulera i zobaczyć co wyjdzie gdy potraktujemy nimi fikającą nakrętkę z poprzednich notek. Czy model nakrętki w równaniach też będzie fikać? Wprowadziliśmy w poprzedniej notce trzy kąty Eulera.

Orły ze Lwowa i z Petersburga

 

Z tych kątów zbudowaliśmy macierz A

Orły ze Lwowa i z Petersburga

Jest to macierz ortogonalna:

AAT = ATA = I

Macierz AT, transponowana do macierzy A, jest równa macierzy odwrotnej. To jest definicja macierzy ortogonalnej. Albo inaczej: każda wiersz macierzy A jest wektorem jednostkowym. Różne wiersze są do siebie wzajemnie prostopadłe. I podobnie z kolumnami. Istna magia. Gdy ktoś potrafi rachować bez wysiłku, może sprawdzić, że nasza macierz A ma te własności. Wystarczy mnożyć, dodawać, i korzystać z wzoru, że sinus w kwadracie plus cosinus w kwadracie daje 1. Dodatkowo można sprawdzić, że nasza macierz A ma wyznacznik +1. W ogólności macierz orogonalna może mieć wyznacznik plus lub minus jeden. A nasza ma plus. Bo nasza to macierz obrotu właściwego, bez lustrzanego odbicia. I dobrze, bo nasze macierze służą właśnie do opisania obrotów.

A co to są obroty? No, wiadomo, bierzemy w ręce i obracamy, każdy to wie. Może i każdy wie, ale to do fizyki się nie przyda. Euler, by zbudować mechanikę ciała sztywnego, musiał pójść znacznie dalej.

No, obroty to takie transformacje co nie zmieniają wzajemnych odległości. Ciepło, ciepło, ale do fizyki się to nie przyda. Euler musiał pójść znacznie dalej. W samej rzeczy musiał wyprzedzić swe czasy i to znacznie. Bowiem dopiero w roku 1930 dwaj polscy matematycy ze Lwowa, Mazur i Ulam udowodnili słynne twierdzenie Mazura-Ulama – w sam raz na nasze potrzeby.

Mazu Ulam

Każda transformacja nie zmieniająca odległości a mająca punkt stały jest opisywana przez macierz ortogonalną! By to udowodnić musieli się porządnie napracować. Euler tak czuł, że to musi być prawdą, więc się do transformacji opisywanych przez macierze ortogonalne od samego początku ograniczył. Ale nawet twierdzenie Mazura-Ulama jest dla fizyki nieprzydatne, bo tam się zakłada, że transformacja działa na całej przestrzeni, zaś w fizyce działa jedynie na ciało. Fizyk musi się jednak kierować intuicją. Matematyka za intuicją czasem jest daleko z tyłu (choć czasem matematyka jest z przodu a intuicja fizyka jest błędna – czasem).

Zatem macierze ortogonalne służą do matematycznego opisu obrotów. Gdy ciało się obraca tak, że środek masy jest nieruchomy, wtedy kąty Eulera i macierz A zmienają się w czasie. Mamy funkcje phi(t),theta(t),psi(t), mamy macierz A(t). I cały czas jest to macierz ortogonalna. Jeśli r'=(x',y',z') to wektor kolumienka współrzędnych jakiegoś punktu w ciele, zaś r=(x,y,z) to wektor kolumienka tego samego punktu w układzie laboratoryjnym, wtedy

r' =A(t) r oraz r=A(t)Tr'

Gdy obserwujemy ustalony punkt w obracającym się ciele, wtedy jego współrzędne X' będą w czasie stałe, ale jego współrzędne w laboratorium będą się zmieniać w czasie:

r(t)=A(t)Tr'

Różniczkując mamy

v(t) = dr(t)/dt = (d/dt A(t)T) r' =(d/dt A(t)T) A(t) r

Macierz (d/dt A(t)T) A(t), wyrażoną przez kąty Eulera, można wyrachować gdy potrafimy różniczkować. Euler potrafił. My, w XXI wieku, możemy kazać wyliczyć komputerowi. Tak ja zrobiłem. I napisałem na tablicy:

Orły ze Lwowa i z Petersburga

Orły ze Lwowa i z Petersburga

Orły ze Lwowa i z Petersburga

Ta omega to (pseudo)wektor prędkości kątowej – tak się to nazywa. Z wysłowieniem formuły (7) pani profesor miała problem – jak to zauważył BJAB w komentarzu pod notką O czym warto pamiętać puszczając bąka. I tą omegą się dalej zajmiemy, bo naprawdę ważna. Bez tego nam równania Eulera nie wyjdą i fikającej w kosmosie nakrętki nie zrozumiemy.

Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki. Katalog SEO Katalog Stron map counter Życie jest religią. Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem. Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone. Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić. Dla tych ludzi świat zgaśnie. Staną się dokładnie tym co dali życiu. Staną się jedynie snem w "przeszłości". Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości" Lista wszystkich wpisów  

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie