Znać przyszłość. Kto by nie chciał! No nie wiem. Może lepiej jest jej nie znać? Jednak znajomość przyszłości się może czasem przydać. Jakie będą ceny jutro? Jaka będzie pogoda? O której wstanie słońce? W fizyce chcemy móc przewidzieć tor pojazdu, tor kuli, drgania mostu pod wpływem przejeżdżającego pociągu. Zajmuje się tym mechanika, zaś w mechanice mamy równania ruchu, czy to punktu materialnego, czy to elastycznego ciała, czy to płynu lub gazu. W mechanice naszą wiedzę dzielimy na: znajomość działających sił (ewentualnie także więzów) oraz znajomość stanu układu. „Siły” to każdy mniej więcej wie o co chodzi. Siłę czujemy, pojęcie siły z czymś się nam kojarzy. Jednak „stan” - co to takiego? Stan konta w banku – to wiemy. Stan pogody – też mniej więcej wiemy. Ale stan atmosfery? Czy stan kuli bilardowej? O co tu idzie? Otóż to co wchodzi w pojęcie stanu jest w dużej mierze kwestią naszego wolnego wyboru. A wybieramy tak, by było wygodnie. Smutne to trochę, że w takiej zdawałoby się obiektywnej teorii jaką jest mechanika, jesteśmy zmuszeni do używania takich subiektywnych pojęć jak „stan”. Może zaś ta cała nasza obiektywna nauka nie jest aż tak obiektywna jak byśmy tego chcieli? Może opieramy ją na błędnych podstawach? A może inaczej się nie da?
Tak czy siak, w mechanice punktu materialnego pod słowem „stan” rozumiemy albo położenie i prędkość (w mechanice Lagrange'a) albo położenie i pęd (w mechanice Hamiltona). Gdy znamy siły, i gdy znamy stan w danej chwili, wtedy możemy wyznaczyć stan w chwili następnej. Tak to jest w zwykłej mechanice. Są bowiem także mechaniki niezwykłe. Na przykład takie NLO, one zachowują się dziwnie. Być może używają innej mechaniki, na przykład z trzecimi pochodnymi.
Wtedy nasze standardowe pojęcie stanu nie wystarcza do przewidywania trajektorii. Trzeba je zmienić. Zmienić na takie jakie będzie wygodne.
To było tytułem wstępu. Przechodząc do aktualnego tematu, którym są automaty komórkowe i ich odwracanie. Pisałem o tym w poprzednich notkach. Pisałem o sztuczce Fredkina pozwalającej na zbudowanie z automatu nieodwracalnego nowego automatu, odwracalnego. Ten nowy automat jednak do wykonania kroku wymaga nie tylko znajomości stanu aktualnego, wymaga także znajomości stanu bezpośrednio poprzedzającego. Sięga pamięcią w przeszłość. To już jest nowa klasa automatów – automaty z pamięcią. Czy jednak nie można zastosować sztuczki by nową klasę sprowadzić do starej klasy? Otóż można. Sztuczki czasem są wygodne, są użyteczne. Przeinterpretowanie nowej rzeczy tak, by można było do nich użyć starych metod. Czasem się to udaje. I udaje się w naszym przypadku. A oto jak się to robi.
Normalnie stan komórki to 0 lub 1. Chcemy jednak obdarzyć nasz automat pamięcią. Niechaj zatem komórka pamięta swój poprzedni stan. To także 0 lub 1. No to wprowadźmy nowe pojęcie stanu: teraz nowym stanem będzie para (stan poprzedni, stan aktualny). Czyli nasz nowy stan to para, np. 01. 01 oznacza 0 poprzednio, 1 aktualnie. Mamy cztery możliwe pary: 11,10,01,00.
Przerobione na dziesiątkowe są to 3,2,1,0. Zatem nasz dwójkowy automat z pamięcią możemy traktować jako czwórkowy automat bez pamięci!
Automatów dwójkowych z trójkowymi otoczeniami jest 2 w potędze 2 do trzeciej, czyli 2 do ósmej, czyli 256. Niespecjalnie dużo, może się zabawić każdym z nich z osobna, zobaczyć co robi.
A ile jest automatów czwórkowych z trójkowymi otoczeniami? Cztery w potędze cztery do trzeciej. Czyli 4 w potędze 4x4x4. Czyli 4 w potędze 4, wszystko w potędze 4x4. Czyli 256 do 16. Trochę dużo.
25616= 340282366920938463463374607431768211456
Z internetu:
How many IP addresses does IPv6 support? Well, without knowing the exact implementation details, we can get a rough estimate based on the fact that it uses 128 bits. So 2 to the power of 128 ends up being 340,282,366,920,938,000,000,000,000,000,000,000,000 unique IP addresses.
Teraz możemy już wrócić do automatu 37R z poprzedniej notki, przeinterpretować i przypisać mu liczbę wśród automatów czwórkowych. Będzie to liczba pomiędzy 0 a
25616. Zadanie proste choć nieco żmudne. A jednak trzeba to umieć zrobić.
Tak to już jest na tym świecie, że są rzeczy łatwe i są takie co wymagają łamania głowy. Nie to, że trudne, ile ćwiczące umysł. Mój własny umysł był leniwy i najpierw się tego zadania przeląkł. Musiałem mu solidnie poperswadować by wózek pociągnął i dociągnął do mety.
Komentarze