Rajski ogród to wiadomo.
Pan Bóg spacerował z aniołkiem po niebie.
- Chciałbym mieć tu ludzi podobnych do siebie.
Już po chwili Ewę i Adama stworzył.
Piękny, Rajski Ogród przed nimi otworzył.
Żywy, kolorowy obraz namalował.
Soczystych owoców, kwiatów nie żałował.
Tam niebiańskie ptaki wesoło śpiewały,
a lśniące motyle włosy ozdabiały.
Tak to się dobrze zaczynało. A jak się skończyło? Sromotą i wstydem:
Śmiał się głośno szatan: - Ludzie ukarani!
- Z pięknego ogrodu zostali wygnani!
Teraz ciężkiej pracy,choroby zaznają.
Tak to bywa z tymi, którzy nie słuchają.
/Elzbieta Krystek – Jones/
Do tych należę, co nie słuchali i dalej nie słuchają, co ciężkiej pracy, choroby zaznają. I nie ma się czym chwalić. Wstydzić się powinienem. No i się wstydzę. I jest się czego wstydzić. A czego mianowicie? Już to opisuję. Ale najpierw, dla wprowadzenia, fragment z książeczki prof. Kułakowskiego „Automaty komórkowe”
5.2. Rajski ogród
To samo pytanie o odwracalność można sformułować następująco: czy istnieją konfiguracje, które nigdy nie powstaną jako wynik działania danego automatu? Taka konfiguracja mogłaby być tylko stanem początkowym układu; ewolucja zgodna z regułami automatu nigdy do niej nie doprowadzi. Stąd nazwa (Garden of Eden) [21]: można z nich wyjść ale niepodobna wrócić. Problem stwierdzenia nieodwracalności automatu można więc przedstawić jako problem znalezienia konfiguracji nieosiągalnej w ramach działania reguł danego automatu, czyli znalezienia ”rajskiego ogrodu”.
Brzmi trochę skomplikowanie, ale na przykładzie zrozumiemy. A przykład pokaże też kawa na ławę czego się wstydzę. Powiem zresztą od razu czego się wstydzę. Otóż wstydzę się płytkości i automatyzmu mojego myślenia. Ta moja płytkość, ten automatyzm, to jechanie na autopilocie nawet w niebezpiecznych warunkach, to są rzeczy z którymi muszę walczyć. Muszę uczyć się przy tym od moich Czytelników, w tym konkretnym przypadku uczę się od BJABA. A było tak (nareszcie): pod notką „Rok Małpy (komórkowej)” BJAB tak pytał o odwracalność automatu z numerem 90:
Jak wygląda problem odwracalności Rule 90 automatu nieskończonego ale przy warunku, że stan początkowy ma skończoną ilość jedynek (albo skończoną liczbę zer)?
Najpierw odpowiedziałem całkowicie na autopilocie, po następnym jednak pytaniu, włączyłem jeden obwód myślenia i odpowiedziałem nieco sensowniej. BJAB zobaczył, że się troszeczkę przyłożyłem, napisał więc Dziękuję. Dziękował przy tym za to, że zechciałem coś w odpowiedzi napisać, nie zaś za to, że sensownie odpowiedziałem na zadane mi pytanie. Czy sensownie czy nie – to wymagało przemyślenia. No i po ponad 24 godzinach padło kolejne pytanie:
@ARKADIUSZ JADCZYK
"...01xxx10...
Kropki stoją za zera. Reguła naszego automatu jest taka, że skrajne lewe i prawe 0 przejdą w 1. Z tego wynikałoby, że ograniczony do takiego zbioru stanów nasz automat jest odwracalny."
Tak więc odległość skrajnych jedynek w takim nieskończonym automacie (90) wzrasta wraz z czasem działania tego automatu.
Czy zatem automat odwrócony sprawia, że odległość między skrajnymi jedynkami maleje?
Do jakiego stanu?
Co potem?
BJAB5.01 20:55
Dopiero wtedy do mnie dotarło, że nie jestem w Raju, że od pracy się nie wymigam. No i wstyd mi się też zrobiło. A teraz dokładniej. Popatrzmy co Rule 90 piszą w Wikipedii. Na Wikipedii nie można co prawda polegać, ale w sprawach matematycznych dobrze do niej zajrzeć, bo użyteczne rzeczy można tam znaleźć.
Znajdujemy tam takie zdania:
In Rule 90, on an infinite one-dimensional lattice, every configuration has exactly four predecessor configurations: in the predecessor, any two consecutive cells may have any combination of states, but once those two cells' states are chosen, there is only one consistent choice for the states of the remaining cells.
W Regule 90, na nieskończonej jedno-wymiarowej sieci, dla każdej konfiguracji istnieją dokładnie cztery konfigurację ją poprzedzające: u poprzednika możemy dowolnie wybrać stan dwóch wybranych kolejnych komórek, lecz gdy tego wyboru dokonamy, stany pozostałych komórek są już jednoznacznie określone.
Therefore this rule provides an example of a cellular automaton that is surjective (each configuration has a predecessor, so there is no Garden of Eden)
Zatem reguła ta dostarcza nam przykładu automatu komórkowego który jest nałożeniem (każda konfiguracja ma poprzednika, zatem nie ma tu Rajskich Ogrodów)
but not injective (unlike injective rules, Rule 90 has pairs of configurations with the same successor).
Ale nie jest włożeniem (w przeciwieństwie do reguł będących włożeniami, dla Reguły 90 mamy pary konfiguracji z tym samym następnikiem.
Nieco dalej znajdujemy takie zdanie:
The Rule 90 configuration consisting of a single nonzero cell (with all other cells zero) has no predecessor that have finitely many nonzeros, but it is not a Garden of Eden because it has predecessors with infinitely many nonzeros.
Konfiguracja Reguły 90 składająca się z jednej tylko komórki niezerowej (gdy wszystkie inne komórki są zerowe) nie ma poprzednika ze skończoną liczbą niezer, ale nie jest Rajskim Ogrodem, ponieważ ma poprzedników z nieskończoną liczbą niezer.
Brzmi to ciekawie i dobrze zobaczyć o co idzie na przykładzie. Weźmy zatem konfigurację z jedną jedynką i pozostałymi zerami
...0|1|0...
Jeśli to co piszą w Wikipedii jest prawdą powinni istnieć czterej poprzednicy
zawierający
x|0|0x
x|0|1x
x|1|0x
x|1|1x
I faktycznie każda z powyższych czterech konfiguracji daję się jednoznacznie uzupełnić do poprzednika. Jest to dobre ćwiczenie logiczne. Jednak każdy z tych poprzedników ma nieskończoną ilość jedynek. Zatem nasza konfiguracja ...0|1|0... jest rajskim ogrodem, ale takim na ziemi, bo na ziemi dysponujemy jedynie skończoną ilością jedynek.
I tak, lepsza, bardziej przemyślana odpowiedź na pytanie BJABa
Czy zatem automat odwrócony sprawia, że odległość między skrajnymi jedynkami maleje?
Do jakiego stanu?
Co potem?
Brzmi tak: maleje aż dojdziemy do stanu, który jest rajskim ogrodem tu na ziemi. Dla którego nie istnieje poprzednik o skończonej liczbie jedynek.
Chciałoby się oczywiście umieć wszystkie takie zgrabnie jakoś wyliczyć. Ale ja takiego wyliczenia nie znam. Może ktoś to już zrobił? A może nie, i może będzie to fragmentem pracy twórczej jakiegoś chłopca czy dziewczynki. Bowiem:
Na skraju „Rajskiego Ogrodu” wybudowany został dom pracy twórczej dla dzieci i młodzieży „NIEZAPOMINAJKA”.
A ja dziękuję moim Czytelnikom za to, że czasem nie dają mi spokoju i służą dobrym przykładem.
