W dyskusji pod ostatnią notką padło zdanie:
Z 1 w dwóch rogach to może diabeł lub BYK. Chyba lepiej mieć do czynienia z jednorożcem.
I o czym ci ludzie mówią? Zapewne tytuły naukowe mają, dyskutują sprawy poważne, a padają słowa diabeł, byk, jednorożec. Ten swój matematyczny wymyślony świat ubarwiają wysyłając doń bajkowe twory.
I tak jest dobrze. Najlepiej bowiem uczymy się w zabawie. Życie to zabawa, to gra. Reguły, niektóre wydają się nam znane, inne czekają dopiero na odkrycie.
Mnie zaś poniosło w automaty bowiem interesuje mnie zagadka życia. W nauce pomaga mi pisanie notek. Dziś notka o automatach liniowych – bo, chcąc nie chcąc, na takie właśnie, na liniowe, powstało zapotrzebowanie.
Rozważamy automaty jednowymiarowe, elementarne. Otoczenie to trzy komórki a,b,c. Nowy stan komórki środkowej, b, dany jest przez funkcję f(a,b,c).Funkcja liniowa od a,b,c jest postaci
f(a,b,c)=Aa+Bb+Cc
Dana jest zatem przez trójkę liczb A,B,C. A że pracujemy modulo 2 (każda komórka naszego elementarnego automatu może być w jednym z dwóch stanów 0,1), mamy zatem 23=8 automatów liniowych. Są to
1)A=0,B=0,C=0 f(a,b,c)=0 Tabelka
|
111
|
110
|
101
|
100
|
011
|
010
|
001
|
000
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
Automat Numer 0 (binarne 00000000)
2)A=0,B=0,C=1 f(a,b,c)=c Tabelka
|
111
|
110
|
101
|
100
|
011
|
010
|
001
|
000
|
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
Automat Numer 170 (binarne 10101010)
3)A=0,B=1,C=0 f(a,b,c)=b Tabelka
|
111
|
110
|
101
|
100
|
011
|
010
|
001
|
000
|
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
Automat Numer 204 (binarne 11001100)
4) A=0,B=1,C=1 f(a,b,c)=b+c mod 2 Tabelka
|
111
|
110
|
101
|
100
|
011
|
010
|
001
|
000
|
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
Automat Numer 102 (binarne 01100110)
5) A=1,B=0,C=0 f(a,b,c)=a Tabelka
|
111
|
110
|
101
|
100
|
011
|
010
|
001
|
000
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
Automat Numer 240 (binarne 11110000)
6) A=1,B=0,C=1 f(a,b,c)=a+c mod 2 Tabelka
|
111
|
110
|
101
|
100
|
011
|
010
|
001
|
000
|
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
Automat Numer 90 (binarne 01011010)
7) A=1,B=1,C=0 f(a,b,c)=a+b mod 2 Tabelka
|
111
|
110
|
101
|
100
|
011
|
010
|
001
|
000
|
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
Automat Numer 60 (binarne 00111100)
8) A=1,B=1,C=1 f(a,b,c)=a+b+c mod 2 Tabelka
|
111
|
110
|
101
|
100
|
011
|
010
|
001
|
000
|
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
Automat Numer 150 (binarne 10010110)
Mamy więc automaty o numerach 0,170,204,102,240,90,60,150. Osiem automatów liniowych. Co one robią? Każdy może sobie sprawdzić aplikacją automaty.jar do ściągnięcia z http://kastin.pl/java-automaty-komorkowe/.
0 nic nie robi, tylko na wszystko odpowiada „bzdura” (logiczne 0)
170 przesuwa o 1 w lewo – nieciekawe
240 przesuwa o 1 w prawo – nieciekawe
204 tylko powtarza to co było, nic nie robi, nieciekawe
A oto odpowiedni fragment z dość łatwej do czytania a zawierającej sporo pożytecznej informacji książeczki "Automaty komórkowe" prof. Krzysztofa Kułakowskiego z AGH
Książeczka do ściągnięcia z http://www.ftj.agh.edu.pl/~kulakowski/ac/
Z liniowców zostały nam do rozważenia 102,90,60,150. Numer 102 jest zwierciadlanym odbiciem 60. Symetryczne są 90 i 150. To automaty przeprowadzające b w a+c i w a+b+c (modulo 2 oczywiście). Wyglądają bardzo elegancko. W przyszłej notce zajmiemy się dziewięćdziesiątką. Generuje coś jakby fraktala … jednorożca.
