Co jest wynikiem obracania kota ogonem? Geometria ma na to prostą odpowiedź: w wyniku powstanie powierzchnia obrotowa – kotonoida. Dla obrońcy praw zwierząt kotonoida jest nie do przyjęcia. Zajmijmy się więc dziś czymś bezpieczniejszym – mianowicie katenoidą. Katenoida powstanie w wyniku obracania krzywej łańcuchowej. Można ją otrzymać bawiąc się bańkami mydlanymi, tak jak na tym obrazku:
Dlaczego bańka mydlana rozpięta pomiędzy dwoma okręgami przyjmuje taką właśnie formę? Cóż, „stara się” ona utworzyć taki kształt, by przy zadanych brzegach (dwa okręgi) otrzymać jak najmniejszą powierzchnię. Wynikiem jest właśnie katenoida. A czemu? Cóż, odpowiedź na to pytanie wymaga zaawansowanej matematyki – nie będziemy w to w chodzić. Katenoida jest jedną z tzw. „powierzchni minimalnych”. Zauważmy, że matematycznie mówiąc katenoida nie kończy się na okręgach – można ją przedłużyć w górę i w dół w nieskończoność. Inną powierzchnią minimalną jest helikoida powstająca z powłoki mydlanej rozpiętej na spirali:
Matematyk łatwo przekształci jedną powierzchnię w drugą dokonując „obrotu w płaszczyźnie zespolonej” - tak jak tutaj, na tej animacji (wybaczcie mi moje kolorki):
Powierzchnie minimalne wiążą się z krzywizną. Ale nie z krzywizną Gaussa o której pisałem. Rzecz w tym, że w danym punkcie każdej powierzchni mamy dwa wyróznione, prostopadłe do siebie okręgi całujące tą powierzchnię. Odwrotności promieni tych okręgów to tzw. Krzywizny główne. Gdy jeden z tych okręgów leży po innej stronie powierzchni niż drugi – wtedy odpowiednia krzywizna jest ujemna.
Iloczyn krzywizn głównych to właśnie krzywizna Gaussa. Ta należy do wewnętrznej geometrii powierzchni, nie zależy od tego jak ta powierzchnia jest przedstawiana (np. kartkę papieru można przedstawić jako płaską, rozłożoną na stole, ale można też niej zrobić cylinder lub stożkowy kapelusz). Suma krzywizn głównych to tzw. krzywizna średnia. Ta nie jest cechą wewnętrznej geometrii.
Otóż każda powierzchnia minimalna ma w każdym swoim punkcie zerową krzywiznę średnią.
Bo krzywizna Gaussa helikoidy bynajmniej stała nie jest – oto helikoida pokolorowana tak, że można widzieć pasy obrazujące kolejne przedziały wartości krzywizny Gaussa – czym bliżej środka, tym wartość bezwzględna krzywizny Gaussa większa.
Uwaga: krzywizna Gaussa helikoidy jest wszędzie ujemna, tym bardziej ujemna czym blizej środka, im dalej od centralnej pionowej linii środkowej - tym krzywizna bliższa zera.
O geometrii można by w nieskończoność. Tak jak to było z krzywą łańcuchową i z powierzchniami minimalnymi – zawsze mamy jakiś związek z fizyką. Mamy też piękno. Dla nas czas jednak się rozstać z geometrią łańcuszków i baniek mydlanych. Czas przejść do fizyki kwantowej – gdzie trudniej sobie rzeczy wyobrazić wizualnie, czy choćby nawet tylko pojęciowo. Trudniej -nie oznacza jednak, że jest to niemożliwe ....
P.S.
Weźmy katenoidę zadaną, we współrzędnych cylindrycznych, równaniem
r(z) = cosh(z)
Jeśli weźmiemy jej fragment od z = -h, do z =h, wtedy pole powierzcni tego fragmentu da się wyrachować:
pole_cat(h) = 2 Pi (h+sinh(2h)/2)
Pole cylindra o promieniu r(h) i wysokości 2h to
pole_cyl(h) = 2*Pi*r(h)*2 h = 4*Pi*h*cosh(h)
Oto grafik obrazujący katenoidę i parę cylindrów dla h=0.5 i h=1.
Zależność obu pól od h na wykresie poniżej. Pole cylindra – krzywa czerwona. Pole katenoidy – ta niebieska pogrubiona.
Widać, że katenoida wygrywa.
