Małpia geometria

Czy małpa może uprawiać geometrię? Okazuje się, że może – i to postaram się wykazać w dzisiejszej notce. Przede wszystkim małpa powinna ściągnąć sobie program Maxima – do ściągnięcia stąd.

„Maxima is a descendant of Macsyma, the legendary computer algebra system developed in the late 1960s at the Massachusetts Institute of Technology. It is the only system based on that effort still publicly available and with an active user community, thanks to its open source nature. Macsyma was revolutionary in its day, and many later systems, such as Maple and Mathematica, were inspired by it.”

Uwaga: Macsyma była pisana w pierwszym języku „sztucznej inteligencji” – w Lispie (potem był Prolog).

Maxima bez trudu instaluje się pod Windowsami, choć nie jest pod nie napisana. Małpa uruchamia Maximę i wpisuje komendę

file_search_maxima

i przyciska Shift-Enter by zobaczyć gdzie Maxima ma ścieżki i będzie szukać plików. U mnie np. wyświetla się m.in:

C:/Documents and Settings/Ark/maxima/###.{mac,mc}

skąd wiem, że mam pliki do czytania przez Maximę wkładać do tej kartoteki „C:/Documents and Settings/Ark/maxima/”. Kartotekę „maxima” musi małpa stworzyć sama. Następnie małpa kopiuje następujący tekst:

/* sfera */

/*f(x,y):= sqrt(1-x^2-y^2);*/

/* powierzchnia siodlowa */

/* f(x,y):=x*y; */

/* malpie siodlo */

f(x,y):=x*(x^2-3*y^2);

g11: 1+diff(f(x,y),x)^2;

g12: diff(f(x,y),x)*diff(f(x,y),y);

g22: 1+diff(f(x,y),y)^2;

if get('ctensor,'version)=false then load(ctensor);

("The coordinate labels")$

dim:2;

ct_coords:[x,y];

("Rational simplification of geometrical objects")$

(ratwtlvl:false,ratfac:true);

("Here is the Lobaczewki metric in standard coordinates:")$

lg:matrix([g11,g12],[g12,g22]);

("Compute metric inverse and determine diagonality")$

cmetric();

("Compute the covariant Riemann and Ricci tensor")$

lriemann(true);

ricci(true);

("Compute Gaussian curvature = scalar curvature/2")$

gauss: ratsimp(scurvature()/2);

ldisplay(ev(gauss));

("End of the story")$

I zapisuje w edytorze tekstu (nie w Wordzie) jako plik gauss.mc w folderze ze ścieżki. Małpa uruchamia Maximę i wpisuje:

load(„gauss.mc”);

po czym wciska, palcem lub ogonem, Shift-Enter. Jeśli wszystko pójdzie dobrze, pojawi się ładnie sformatowany wydruk:

(%i2) load("gauss1.mc");
(%t2) lriem[2,2,1,1]=-(36*(y^2+x^2))/(9*y^4+18*x^2*y^2+9*x^4+1)
(%t3) ric[1,1]=-(36*(y^2+x^2)*(9*y^4-18*x^2*y^2+9*x^4+1))/(9*y^4+18*x^2*y^2+9*x^4+1)^2
(%t4) ric[1,2]=-(648*x*y*(y-x)*(y+x)*(y^2+x^2))/(9*y^4+18*x^2*y^2+9*x^4+1)^2
(%t5) ric[2,2]=-(36*(y^2+x^2)*(36*x^2*y^2+1))/(9*y^4+18*x^2*y^2+9*x^4+1)^2
(%t6) ev(gauss)=-(36*(y^2+x^2))/(9*y^4+18*x^2*y^2+9*x^4+1)^2

W ten sposób małpa obliczyła krzywiznę Gaussa jako na powierzchni zwanej małpim siodłem – krzywizna Gaussa nie jest tu stała, jest funkcją punktu. Obliczenie tej krzywizny zajmuje małpie mniej czasu niż machnięcie ogonem.

Teraz małpa może zmienić coś w pliku wejściowym, np. zmienić początek na taki:

/* sfera */

f(x,y):= sqrt(1-x^2-y^2);

/* powierzchnia siodlowa */

/* f(x,y):=x*y; */

/* malpie siodlo */

/* f(x,y):=x*(x^2-3*y^2); */

Tu formuła małpiego siodła została „zakomentowana”, „odkomentowana” została natomiast formuła dla sfery. Maxima jest iście małpim programem. Co prawda w Menu jest „interrupt” i „restart”, jednak dobrze jest po prostu zamknąć Maximę i otworzyć na nowo – inaczej moga zacząć działać pluskwy i wyprodukować bzdury – tak mi się przydarzyło wczoraj i przez pewien czas myślałem, że to ja nie rozumiem geometrii .... Wydaje mi się, że komenda „Restart” nie czyści pamięci jak trzeba.

Ładuje więc małpa „gauss.mc” na nowo, wciska „Shift-Enter” i wyskakuje tym razem:

(%i1) load("gauss1.mc");
(%t1) lriem[2,2,1,1]=-1/(y^2+x^2-1)
(%t2) ric[1,1]=((y-1)*(y+1))/(y^2+x^2-1)
(%t3) ric[1,2]=-(x*y)/(y^2+x^2-1)
(%t4) ric[2,2]=((x-1)*(x+1))/(y^2+x^2-1)
(%t5) ev(gauss)=1

Ostatnia linijki mówi małpie, że sfera ma stałą krzywiznę Gaussa, równą 1. Program w międzyczasie obliczył wewnętrzną metrykę sfery, symbole koneksji afinicznej, tensor Riemanna, tensor Ricciego, krzywiznę skalarną, podzielił ją przez dwa – by dostać krzywiznę Gaussa.

Teraz małpa zadowolona może usiąść w małpim siodle. Wie, że mogłaby tak samo łatwo, machnięciem ogona, obliczyć krzywiznę Gaussa dla pseudosfery i wyszłoby -1.

Co jednak z tym małpim siodłem? Czy to znowu jakaś nowomowa? Zwykła powierzchnię siodłową o równaniu

z = x*y (lub z = x^2-y^2) można znaleźć np. na stronie „ROZSZERZAJĄCY SIĘ WSZECHŚWIAT” z komentarzem:

„W drugim modelu, opisującym wiecznie rozszerzający się wszechświat, przestrzeń jest zakrzywiona w inny sposób, przypomina raczej powierzchnię siodła. W tym wypadku przestrzeń jest nieskończona.”

Siodło takie jednak nie nadaje się dla małpy. Nogi moga co prawda zwisać wygodnie po obu stronach, ale co z ogonem? Tu wielomian drugiego stopnia nie wystarcza. Potrzebna jest krzywa trzeciego stopnia, właśnie coś takiego jak

z = x*(x^2-3*y^2);

A oto małpie siodło (ang. „monkey saddle”), które pokolorowałem wartością krzywizny Gaussa. Kolor czerwony – krzywizna mała, kolor niebieski – krzywizna duża: