Całowanie Traktrysy

 

„...zmiana krzywizny w przestrzeni jest tym, co w samej rzeczy zachodzi w zjawisku, które nazywamy ruchem materii, czy to ważkiej czy eterycznej.”

 

W roku 1870, w swoim wystąpieniu na posiedzeniu Towarzystwa Filozoficznego Cambridge, brytyjski matematyk William Kingdon Clifford (1845 – 1879) przedstawił następującą wizję:

 

„Riemann pokazał, że są różne rodzaje krzywych i powierzchni, że są różne rodzaje przestrzeni o trzech wymiarach; że tylko przez doświadczenie możemy stwierdzić w jakim rodzaju przestrzeni żyjemy ....

Chciałbym tu zasugerować sposób w który tego rodzaju spekulacje mogą być użyte do badania zjawisk fizycznych. Utrzymuję, w samej rzeczy, że

 

1. Małe porcje przestrzeni są, w samej rzeczy, czymś analogicznym do małych pagórków na powierzchni, która w średniej jest powierzchnią płaską, że zwykłe prawa geometrii się tu nie stosują.

2. Ta własność, bycia zakrzywionym czy zaburzonym, w sposób ciągły przekazywana jest z jednej porcji przestrzeni do innej na podobieństwo fali.

3. Ta zmiana krzywizny w przestrzeni jest tym, co w samej rzeczy zachodzi w zjawisku, które nazywamy ruchem materii, czy to ważkiej czy eterycznej.

4. W świecie fizycznym nie zachodzi nic innego niż takie tylko zmiany, (być może) podlegając prawu ciągłości.

 

W roku 1874 Clifford poznał Sophie Lucy Lane. 7-go kwietnia 1875 zostawił na tablicy taką oto wiadomość dla swych studentów:

 

„Z ważnych powodów jestem zmuszony być nieobecnym, co prawdopodobnie nie zdarzy się ponownie.”

 

Był to jego dzień ślubu. Lucy, wierna towarzyszka życia Williama Clifforda, zmarła 21-go kwietnia 1929. Obchodzimy więc właśnie osiemdziesiątą rocznicę jej śmierci.

 

Wizję Clifforda urzeczywistnił, do pewnego stopnia, Albert Einstein w ogólnej teorii względności. Dziś także elektromagnetyzm i słabe oddziaływania opisujemy jako przejawy krzywizny, choć nieco ogólniejszego rodzaju. Jednolita teorii wszystkich oddziaływań, która urzeczywistniałaby wizję Clifforda w całości , jest wciąż jeszcze w powijakach. Najbliższy, moim zdaniem, urzeczywistnienia tej wizji był Burkard Heim. I ja tą drogą, mym żołwim kroczkiem,  kroczę. A zaczęło się to wszystko dawno ....

 

Pod hasłem „Apoloniusz z Pergi” znajdujemy w polskiej Wiki krótką notkę:

 

„Apoloniusz z Pergi (gr. Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος Apollonios ho Pergaios) – żyjący w III wieku p.n.e. (ok. 260 p.n.e. – ok. 190 p.n.e.) matematyk i astronom grecki.

 

Apoloniusz interesował się głównie geometrią a zwłaszcza krzywymi stożkowymi. Napisał traktat Κωνικά (Konika – "Stożkowe"), w którym opisuje i nadaje nazwy takim krzywym jak elipsa, parabola i hiperbola. Zajmował się również badaniem ruchu Księżyca. Działał na terenie Pergamonu i Aleksandrii. Już w starożytności nazywano go "Wielkim Geometrą".”

 

Można wszak powiedzieć więcej: to on wprowadził do geometrii okręgi „całujące” krzywe, choć dotyczyło to tylko krzywych stożkowych – elipsy, paraboli, hiperboli. Później rozwijali naukę o „krzywiźnie” krzywych inni

Pisałem swego czasu (w „Pędzi zawrót kolisty”) o okręgu całującym parabolę. Całowanie Traktrysy to przygoda troche poważniejsza, choć to tylko wstęp do poważniejszego wyczynu jakim jest całowanie Pseudosfery.

 

Aby traktrysę wygodnie móc całować, dobrze ją najpierw ułożyć na boku i wygodnie sparametryzować. Można to robić na parę sposobów. Wybrałem parametryzację, którą można znaleźć np. w Wikipedii francuskiej – funkcjami hiperbolicznymi:

 

x(t) = t - tanh(t)

y(t) = 1/cosh(t)

 

Jak ktoś nie wie jak wyglądają funkcje hiperboliczne, może zajrzeć do polskiej Wikipedii. Położona i symetryczna traktrysa wygląda wtedy tak:

 

 

Pozwoliłem tu parametrowi t zmieniać się od -5 do 5. W każdym punkcie traktrysy musimy teraz znaleźć tulący się do niej (całujący ją, oskulujący) okrąg. Wzory na środek i na promień okręgu podałem w Zawrocie kolistym

 

Przypomnę:

 

Dla programistów jestem winien formułę. Otóż, jeśli krzywa sparametryzowana dana jest równaniami (x(t), y(t)), to krzywizna kappa(t), w punkcie odpowiadającym wartości t parametru dana jest wzorem

 

kappa(t) = licznik/mianownik

 

gdzie

 

licznik = x' y'' – y'x''

 

mianownik = (x'² + y'²)^3/2.

 

Środek (a(t),b(t)) oskulujacego okręgu dany jest zaś wzorem

 

a(t) = x(t) - licznik_a/mianownik, b(t) = y(t) + licznik_b/mianownik

 

licznik_a = y'(t)(x'(t) ² + y'(t)² )

 

licznik_b = x'(t)(x'(t)² + y'(t)²)

 

mianownik (w obu przypadkach ten sam) = x'(t)y''(t) – y'(t)x''(t)

 

Promień oskulującego okręgu to odwrotność krzywizny kappa:

 

R(t) = (x'(t)² + y'(t)²)^3/2/(x'(t) y''(t) – y'(t)x''(t))

 

Nietrudno to wyliczyć dla traktrysy używając podstawowych dla funkcji hiperbolicznych formuł (np. z Wikipedii). Nie będę tego robił, podam tylko wynik:

 

R(t) = |sinh(t)|

 

Można też bez trudu wyliczyć współrzędne kartezjańskie (a(t),b(t)) środka tego okręgu. Wynik jest niezmiernie prosty:

 

a(t) = t

b(t) = cosh(t)

 

Na przykład, dla t = 0.3 (blisko szpicu) fragment traktrysy wraz z całującym ją okręgiem wygląda tak:

 

 

Trudno to przedstawić graficznie, bo promień okregu zaczyna wykładniczo rosnąć w miarę zsuwania się po zjeżdżalni. Tak czy siak - oto animacja okręgu tulącego się do traktrysy:

 

 

A oto, w jednym obrazku, suma obrazków składających się na animację:

 

 

Co ważne, to to, że w miarę jak całujący okrąg ztacza się po traktrysie, jego środek się podnosi – tak powstaje krzywa łańcuchowa. To ewoluta traktrysy. A o krzywej łańcuchowej, jej historii, własnościach, zastosowaniach – można by pisać całe księgi!

 

Pamiętajmy o tym, że krzywizna jest odwrotnością promienia oskulującego okręgu. Zatem krzywizna jest tym większa im bliżej czubku. Na samym czubku nie jest określona, ale gdyby była, była by nieskończona.. Czym dalej od czubka, tym traktrysa bardziej płaska, krzywizna maleje, w granicy do zera, w miarę zsuwania się w dół po traktrysie.

 

W następnej notce będzie o krzywiźnie pseudosfery. Pseudosfera to już powierzchnia a nie krzywa. By określić jej krzywiznę potrzebny będzie dodatkowy całujący okrąg, całujący od środka i prostopadły do tego całującego od zewnątrz.