Przed Wielkanocą, w notce „bez torsji” nadgryźliśmy problem geodezyjnych na półpłaszczyźnie wyposażonej w nieeuklidesową, hiperboliczną (tak się ona nazywa) geometrię Łobaczewskiego. W geometrii tej jednostka długości jest inna niż ta z płaskiej kartki papieru. Czym bliżej osi poziomej y=0, tym krótszy jest nasz wzorzec metra.
Czy można taką geometrię sobie wyobrazić? Czy można jakoś wymodelować? Czy taką dziwaczną, rodem z głowy matematyków, geometrię przyroda wykorzystuje? I tak i nie. Pesymista odpowie „nie”. Optymista odpowie „tak”.
Zacznę od „modelowania”. Otóż nie kto inny niż David Hilbert, matematyk niemiecki z Getyngi, gdzieś około roku 1900, udowodnił matematycznie, że całej półpłaszczyzny z geometrią hiperboliczną wymodelować przez powierzchnię w trzech wymiarach się nie da. Tzn. nie da się wymodelować tak, by kąty i odległości mierzone w „zwykły, euklidesowy sposób” na powierzchni były identyczne z kątami i odległościami wynikającymi ze wzorów matematycznych na metrykę geometrii. Hilbert uważał to pytanie za jedno z fundamentalnych pytań w matematyce. Podał też szkic dowodu negatywnej na to pytanie odpowiedzi.
Pesymista ma zatem rację. Ale tylko częściową rację, bo można wymodelować spory jej kawałek. I tym się dziś, dla rozruchu, po świętach, zajmiemy.
Wymodelujemy, tzn. przedstawimy jako powierzchnię w trzech wymiarach, pasek wzięty z naszej półpłaszczyzny: x będzie się zmieniać od 0 do 2 Pi, y od 1 do nieskończoności:
Teraz narysujmy poziome linie na naszym wycinku tak, by były równo odległe od siebie, powiedzmy o 0.1. Do tego trzeba trochę matematyki. Kto nie potrafi całkować, ten wystarczy, że popatrzy na końcowy wynik.
W geometrii hiperbolicznej pionowa odległość ds pomiędzy y a y+dy wynosi
ds = (1/y) dy
Stąd odległość pionowa pomiędzy 1 a y wynosi
s(y) = log(y) – log(1) = log(y) – 0 = log(y).
Zatem, odwracając,
y(s) = exp(s).
Chcąc rysować linie odległe od siebie o 0.1 muszę je rysować na wysokościach
y[k] = exp(k * 0.1).
Tak też zrobiłem: Oto wynik:
Dalej, na każdej z linii poziomych narysujmy równo od siebie oddalone, także o 0.1, punkty. Poziomo mamy
ds = (1/y) dx
Stąd
s(x) = (1/y) x
lub:
x(s) = y*x
Chcąc rysować je równo oddalone poziomo na wysokości y, rysuję punkty
x[k] = k*y*0.1
Oto końcowy wynik:
Jak wygląda powierzchnia na której te punkty są rzeczywiście równo oddalone? Zrobimy to krok po kroku. Przede wszystkim nie od parady wybrałem zakres zmienności x-a od 0 do 2 Pi. Zwińmy najpierw nasz pasek w cylinder:
Widać, że czym wyżej, tym szyjka musi być węższa, by odległości poziome stały się prawdziwe. Zrobiłem więc promień na wysokości y równy 1/y:
Wygląda już prawie dobrze, ale okazuje się, że potrzebna jest jeszcze poprawka pionowa. Miast rysować y, trzeba rysować pewną funkcję f(y), mianowicie:
f(y) = -sqrt(1-1/y^2)+log(y+sqrt(-1+y^2))
Wykres tej funkcji wygląda tak:
Przypłaszczając naszą wieżę, tu mniej, tu więcej, otrzymujemy końcowy wynik – pseudosferę - model wycinka geometrii hiperbolicznej o stałej ujemnej krzywiźnie:
A oto podwójna pseudosfera, domowej produkcji, pływająca swobodnie w kosmosie:
Przy okazji: wysokiej klasy wysokotonowe głośniki produkuje się wykorzystując patent oparty o geometrię pseudosfery:
A co to ma wspólnego z księżniczką w oślej skórze? O tym następnym razem.
