Czasoprzestrzeń Galileusza-Newtona
Czym jest przestrzeń? Czym jest czas? Tego nie wiemy. Mamy jednak modele matematyczne, modele, które się sprawdziły w zastosowaniach. Najprostszym modelem jest model zwany czasoprzestrzenią Arystotelesa. W modelu tym zarówno czas jak i przestrzeń są absolutne. Innymi słowy wszelki ruch w przestrzeni jest wykrywalny i wszelki upływ czasu jest wykrywalny i nie ma problemów z tym o ile coś się przesunęło i ile czasu upłynęło.
W swojej książeczce „Some Mathematical Physics for Philosophers”, wydanej przez Pontifical Gregorian University, Michal Heller podsumowuje to tak:
Istnieje naturalny stan spoczynku.
Ciało na które nie działa żadna siła, pozostaje w absolutnym spoczynku.
Siła jest proporcjonalna do powodowanej przez nią prędkości
Galileuszowi przypisujemy wyjaśnienie istoty względności przestrzeni. Dla osoby płynącej na łodzi, łódź ma zawsze to samo położenie – pod siedzeniem. Dla osoby na brzegu położenie łodzi zmienia się w czasie. Dla osoby na łodzi prędkość łodzi to 0 m/s. Dla osoby na brzegu jest inaczej. Przestrzeń stała się względna. Czas jednak pozostał absolutny. Zegarek na łodzi i zegarek na brzegu będą obliczać ten sam czas pomiędzy dwoma zdarzeniami. Einstein dołożył do tego względność czasu, ale nas to nie będzie interesowało. Pozostaniemy przy modelu Galileusza, zwanym także modelem Galileusza-Newtona. Bowiem Newton dołożył do tego zgodne z tym modelem zasady dynamiki.
Jak taką czasoprzestrzeń Galileusza-Newtona modelujemy matematycznie? Wyjaśnił to dość dobrze Andrzej Trautman, który spopularyzował wśród fizyków pojęcie wiązki włóknistej. Pominę subtelne rozróżnianie pomiędzy czasoprzestrzenią Galileusza i czasoprzestrzenią Newtona. Na obrazku wygląda to tak:
Punkty w prostokącie to „zdarzenia”. Każde zdarzenie ma dobrze określoną chwilę (czas) w którym zaszło. Rzutowanie (na rysunku pionowe) na czas jest zdefiniowane. Pionowe kreski reprezentują „przestrzeń w różnych chwilach czasu. Nie ma natomiast kresek poziomych. Nie ma absolutnej metody identyfikacji punktów przestrzeni w różnych chwilach czasu. Obserwator na łodzi będzie to robił inaczej, obserwator na brzegu inaczej. Każdy z nich ma swój własny układ odniesienia. Jak te układy odniesienia przestawić na obrazku? Na przykład tak:
Obserwator na brzegu będzie identyfikował punty przestrzeni w różnych chwilach idąc za liniami czarnymi. Obserwator na łódce idąc za liniami czerwonymi. Dla obserwatora na brzegu zdarzenia a i b zachodzą „w tym samym miejscu”, zaś a i b' – „w różnych miejscach”. Dla obserwatora na łódce zdarzenia a i b' zachodzą w tym samym miejscu, zaś a i b w różnych miejscach. Linię czerwoną przerywaną, łączącą a i b' można traktować jako historię łodzi. Linie poziomą czarną łącząca a i b jako historię obserwatora na brzegu. Szereg linii poziomych to historie obserwatorów wzdłuż brzegu, oddalonych od siebie. Szereg linii czerwonych przerywanych to historie obserwatorów na kilku łodziach płynących w tym samym tempie, jedna za drugą.
Odległość pomiędzy zdarzeniami w tej samej chwili jest wielkością absolutną. Obserwator na brzegu zrobi zdjęcie migawkowe i znajdzie z niego odległość łodzi. Obserwator w helikopterze, poruszający się nad łodziami z ich prędkością zrobi zdjęcie migawkowe i znajdzie z niego tą samą odległość między łodziami co obserwator na brzegu. Einstein by widział te rzeczy inaczej, ale o Einsteinie nie mówimy. Zresztą łodzie poruszają się z prędkością znacznie mniejszą od prędkości światła, więc różnice między Newtonem a Einsteinem możemy zaniedbać.
Po tym wstępie możemy wrócić do problemu układu podwójnego dyskutowanego w poprzedniej notce. Możemy narysować trzy rzeczy: historię środka masy układu, historię Słońca i historię bliźniaka. Będzie to wyglądało jakoś tak (pomijam, dla prostoty rysunku, dwa wymiary przestrzenne – jeden nieistotny – bo ruch odbywa się w płaszczyźnie - i jeden istotny):
Linia czarna pozioma to historia środka masy. Linia czerwona to historia Słońca. Linia niebieska to historia bliźniaka. Nie należy się sugerować tym, że na obrazku linie te przecinają się. Naprawdę się nie przecinają. Ich przecinanie się jest wynikiem rzutowania na jeden wymiar przestrzenny.
Wektory zielone to „wektor r położenia względnego” użyty w formułach z poprzedniej notki. Wektor ten nie zależy od wszelkiego wyboru inercjalnego układu odniesienia. Jest „absolutny”. Gdybym narysował jego historię w dwóch wymiarach – byłaby to elipsa. Z wektora tego możemy, jak to pokazałem w poprzedniej nocie, wyliczyć historię x0(t) i x1(t) – tzn. współrzędne tej historii względem środka masy. Współrzędne zależą od okładu odniesienia, ale sama historia nie zależy.
Pozostaje do przedyskutowania problem jak ruch Słońca wygląda z bliźniaka i jak ruch bliźniaka wygląda ze Słońca. Ale co to znaczy „wygląda”? To znaczy jak obserwator na Słońcu będzie sobie przedstawiał ruch bliźniaka. Aby sobie ten ruch przedstawić musi wybrać wybrać jakiś współrzędne. Jak to zrobi? Będzie dbał o to, by w każdej chwili jego siatka współrzędnych była kartezjańska, równe sześcianiki i by w tej siatce zam zawsze znajdował się w początku układu współrzędnych. Na naszym uproszczonym rysunku byłby to układ linii równo oddalonych od historii Słońca. Dla niego historia bliźniaka to będzie po prostu wektor r(t). Dla bliźniaka, rozumującego podobnie, będzie to, jak widać z obrazka, wektor -r(t) (minus r(t) ). Zarówno r(t) jak i -r(t) opisują elipsy.
Elipsami są też trajektorie x0(t) i x1(t) – jak to udokumentowałem w poprzedniej notce.
To moje wypracowanko na temat winno pomóc w ukierunkowaniu dyskusji z mhg, który wyraził w komentarzu do poprzedniej notki swe wątpliwości.
Jeśli zajdzie potrzeba – mogę dodać dodatkowy wymiar do mojego rozumowania. Skomplikuje to nieco rysunki, ale nie wniesie niczego nowego.
Pozostaje pytanie: kto się myli? Ja czy mhg? Będę się cieszył, jeśli zrobiłem gdzieś błąd, bowiem na własnych błędach zawsze mogę się czegoś nowego nauczyć.
