Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk
222
BLOG

Ta wredna matematyka

Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk Kultura Obserwuj notkę 31

Tydzień temu, w komentarzu do notki „Krzywomierzymy” Kenny McCormick pytał:
 
A jak wyglądałaby sytuacja (tzn. krzywa orbity) gdyby Ziemia miała masę równą 1/3 masy Słońca? Wiadomo, że wówczas obydwa ciała krążyłyby wokół wzajemnego środka ciężkości, znajdującego się wi 1/4 odległości między środkami ciał, ale jak wyglądałaby wówczas "orbita" Ziemi widziana ze Słońca? Czy w dalszym ciągu byłaby to elipsa? „
 
i w następnej notce powtórzył pytanie:
 
A ja się dalej zastanawiam nad tą krzywą z własnego komentarza pod poprzednim wpisem, ze tak nieśmiało się przypomnę... O ile to nie jest zbyt banalny problem, to zaczynam podejrzewać, ze jest to w istocie elipsa... „
 
a ja odpowiedziałem:
 
Pamiętam, ale przypomnieć nigdy nie szkodzi. Nie mam natychmiastowej odpowiedzi. Będę musiał pomyśleć. Nie wykluczone, że uczono mnie tego na astronomii - ale w międzyczasie zapomniałem. „
 
Następnie michał,g podał link do animacji układu podwójnego:
 
http://astro.u-strasbg.fr/~koppen/jeanlouis/BinaryStar.html
 
co do pewnego stopnia zadowoliło ciekawego Czytelnika, ale chyba tylko do pewnego stopnia, bo animacja i zrozumienie mechanizmu to nie to samo.
 
A ja, jak obiecałem, pomyślałem i oto wyniki moich rozmyślań przedstawiam. Oczywiście nie skończyło się na rozmyślaniu – zajrzałem do książek, w szczególności do „Methods of Celestial Mechanics” Beutlera, vol. 1. Następnie przeliczyłem sobie parę przykładów. No i zrozumiałem. Zrozumienie wymaga, niestety, trochę matematyki na którą jej nie znający tak lubią narzekać! Trochę, ale naprawdę niewiele.
 
Oto szkic rozwiązania problemu. Dla prostoty pominę stałą grawitacyjną, bo jej wartość jest nieistotna, choć przy prawdziwych obliczeniach trzeba ją uwzględnić.
 
Mamy zatem układ składający się z dwóch ciał. Jedno o masie m0, drugie o masie m1. Możemy myśleć, że m0 odnosi się do Słońca a m1 do jego bliźniaka o mniejszej masie
 
Uwaga: czy takowy istnieje, to już inna sprawa, są na ten temat różne hipotezy i różne teorie, oficjalna nauka na takie spekulacje patrzy okiem raczej niechętnym. Dziś wszak otrzymałem email od fizyka z Marsylii, który bada (i publikuje) niekonwencjonalną teorię grawitacji i istnienie bliźniaka naszego Słońca poważnie rozważa.
 
Te dwie masy przyciągają się grawitacyjnie. Zastosujmy do nich prawa grawitacji Newtona. Prawa Newtona stosuja się w układzie inercjalnym, więc zakładamy, że piszemy nasze równania właśnie względem takiego układu. Nie będę się przejmował zapisem wektorowym, kto wie o co chodzi – zrozumie nawet wtedy, gdy nie będę wektorów pogrubiał. Współrzędne masy m0 to x0, masy m1 to x1. Przyśpieszenie (drugą pochodną po czasie) będę oznaczał przez x''.
 
Równania Newtona dla naszego układu dwóch mas mają postać:
x0'' = -m1(x0-x1)/|x0-x1|3
x1'' = -m0(x1-x0)/|x1-x0|3
 
Wprowadzamy współrzędną środka ciężkości:
 
X = ( m0x0+m1x1)/(m0+m1)
 
i z równań znajdujemy szybko, że środek ciężkości porusza się (względem naszego inercjalnego układu odniesienia ruchem jednostajnym. Możemy więc związać nasz układ odniesienie ze środkiem cięzkości układu. Wtedy X=0. Mamy więc:
 
m0x0 = -m1x1 (Formuła 1).
 
Na tym kończy się pierwszy etap naszej pracy i zaczyna drugi.
 
Wprowadzamy współrzędne względne:
 
r = x1 - x0.
 
Odpowiada to umieszczeniu naszego układu współrzędnych na Słońcu. Taki układ nie będzie już inercjalny, bo przecież Słońce spada na bliźniaka! Nie przeszkadz nam to jednak, bowiem nasze równania napisaliśmy w układzie inercjalnym a dalej je po prostu matematycznie obrabiamy.
 
Odejmując nasze dwa równania stronami dostajemy dla współrzędnej względnej równanie:
 
r'' = -(m0+m1) r/|r|3
 
Rozwiązujemy i dostajemy znane prawa Keplera i, gdy gdy warunki ku temu sprzyjają, ruch po elipsie. Zatem ze Słońca wygląda na to, że bliźniak porusza się po elipsie – jak Pan Bóg przykazał.
 
A jak to będzie wyglądało z układu związanego ze środkiem masy naszej bliźniaczej pary? W układzie związanym ze Słońcem mamy trajektorię eliptyczną r(t). Wracamy do definicji r i widzimy, że
 
x1(t)-x(t) = r(t)
 
Stąd i z Formuły 1 możemy bez trudu wyliczyć zarówno x0(t) jak i x1(t). Prosty rachunek daje:
 
x0(t) = - m1 r(t) /(m1+m2)
 
x1(t) = m0 r(t)/(m1+2)
 
Widać, że z punktu widzenia układu inercjalnego związanego ze środkiem masy mamy po prostu
przeskalowane i przeciwne - znak minus przy x0(t) - ruchy eliptyczne.
 
I to cała zagadka. Innymi słowy tok rozumowania jest w istocie odwrócony w stosunku do tego, co komuś mogłoby się wydawać – że rozwiązujemy równania w układzie inercjalnym. Bynajmniej. Najłatwiej je rozwiązać przechodząc do współrzędnych względnych. Tam dostać elipsę a następnie przenieść przez proste skalowanie (lub przez skalowanie z przesunięciem, jeśli nie wybraliśmy początku w środku masy układu) do układu inercjalnego.
 
Czy można zrozumieć bez matematyki skąd się biorą elipsy w ruchach planet? Nie można. Czy ktoś się tym przejmuje? Skądże. Wielu woli ponarzekać na matematykę, że jest niepotrzebna, że jest za trudna, że jest zawalidrogą dla prawdziwych wynalazców. Życzę zatem prawdziwym wynalazcom wielu sukcesów w życiu zarówno prywatnym jak i zawodowym.

Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki. Katalog SEO Katalog Stron map counter Życie jest religią. Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem. Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone. Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić. Dla tych ludzi świat zgaśnie. Staną się dokładnie tym co dali życiu. Staną się jedynie snem w "przeszłości". Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości" Lista wszystkich wpisów  

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Kultura