Kto z nas nie optymalizuje? Jak kupić najtaniej? Jak awansować jak najwyżej pracujac przy tym jak najmniej? Jak sprzedać najdrożej? Jak odwiedzić wszystkie wybrane punkty i dotrzeć do celu w najkrótszym czasie? Z jaką prędkością jechać, by zużyć najmniej paliwa? Lub bardziej geometryczne: mając daną długość sznurka jak otoczyć nim możliwie największą powierzchnię. Czy będzie to kwadrat czy trójkąt, czy może elipsa? Znajdowaniem metod rozwiązywania tego typu zagadnień zajmują się dwa działy matematyki: rachunek wariacyjny i optymalizacja. Ten drugi dział jest szerszy, bowiem rachunek wariacyjny ma do czynienia jedynie z zagadnieniami „gładkimi”, optymalizacja zaś dopuszcza zagadnienia dyskretne, gdzie rozwiązania problemu mogą zawierać nagłe zmiany kierunku, prędkości itd. Z drugiej strony rachunek wariacyjny wychodzi poza czyste problemy optymalizacji, stosuje się szeroko w fizyce gdzie szukamy czasem rozwiązań „ekstremalnych” lub „stacjonarnych”, bo wierzymy, że z tajemniczych powodów Przyroda właśnie je lubi.
Typowym, historycznym przykładem jest tzw. Problem brachistochrony. Z Wikipedii podkradłem ten obrazek:
Ta kulka spadająca pionowo jest nieco tajemnicza. Jak rozumiem spada pionowo i odbija się od ukośnej ścianki (nie ma jej na rysunku) po czym toczy się poziomo ze stałą prędkością jaką osiągnęła w czasie spadania. Ten przypadek (nagła zmiana kierunku) wykracza poza rachunek wariacyjny i należy właśnie do optymizacji.
Dlaczego zaś o optymalizacji dziś nawijam? Robię to dlatego, że mamy do rozwiązania problem geometryczny: jak znaleźć najkrótszą drogę pomiędzy dwoma punktami na pofałdowanej robótce przedstawiającej nieeuklidesową geometrię Bolyai-Łobaczewskiego?
Gdyby pomiędzy punktami A i B była rozciągnięta gumka – sam wybrałaby najkrótszą drogę. My chcemy to zrobić w naszych głowach, bez gumki, za to z ołówkiem i kartką papieru, używając do tego celu metryki Riemanna. Mamy bowiem wzór na element długości:
ds2 = g11(x,y) (Delta x)2 + g12(x,y) Delta x Delta y + g21(x,y) Delta y Delta x + g22(x,y) (Delta y)2
a w naszym przypadku, gdy
g21(x,y) = g12(x,y) = 0, g22(x,y) = 1/y2
mamy pop prostu:
ds2 = 1/y2 (dx2 + dy2)
lub
ds = (1/y) (dx2 + dy2)1/2
Przypuśćmy, że chcemy znaleźć najkrótszą drogę pomiędzy punktami A i B, np. A = (0,1), B= (1,2).
Jaką drogę wybrać? Czy większe y, tym mniejsze 1/y, tym mniejsze ds, zatem opłaca nam się iść nie prosto a trochę w górę. Ale nie za bardzo w górę, bo chcemy dojść do punktu B na wysokości y=2. Musi więc być droga optymalna. Dobrze zacząć od czegoś prostszego, czegoś, co możemy rozwiązać metodami ze szkoły. Rozważmy więc taki problem, problem zapożyczony z książeczki Jakuba Perelmana „Zajmująca matematyka”:
Są miasteczka A i B. A leży nad rzeką. B jest w odległości a kilometrów wzdłuż rzeki i w odległości d od rzeki. Z A do B przewozi się towary. Można przewozić po wodzie i po lądzie. Przewóz po wodzie jest dwa razy tańszy (za tono-kilometr) niż przewóz po lądzie. Zdecydowano więc położyć nową drogę z B do rzeki. Jak optymalnie wybrać docelowy punkt D na brzegu rzeki?
Przytoczę, za Perelmanem, rozwiązanie tego zagadnienia. Zmieniłem trochę obrazek i oznaczenia, by lepiej odpowiadały sytuacji z geometrią Łobaczewskiego. Płynąć w górę się bardziej opłaca, ale z drugiej strony krócej iść na skos niż po bokach trójkąta. Gdzie jest więc optimum? Rozumujemy tak:
Oznaczmy odległość AD przez y, zaś długość szosy DB – przez x. Oznaczmy odległość AC przez a, zaś odległość BC przez d.
Skoro przewóz po szosie jest dwa razy droższy niż przewóz po rzece, to suma:
y+2x
winna być jak najmniejsza. Interesuje nas więc wartośc
m = y + 2x
Ale y = a -DC, zaś DC = (x2 – d2)1/2. Nasze równanie ma zatem postać:
m = a - (x2 – d2)1/2 + 2x.
Odległość a jest dana. By m było jak najmniejsze, to co następuje po a musi być jak najmniejsze. Nazwijmy je p:
p =2x - (x2 – d2)1/2
Od tego miejsca nie całkiem rozumiem Perelmana, bo ten rozumuje wielce sprytnie. Może ktoś mi pomoże? Wyjaśni lepiej, inaczej?
Perelman argumentuje tak:
Chcemy pozbyć się pierwiastka, przenosząc na drugą stronę:
(x2 – d2)1/2 = 2x - p
Podnosimy obie strony do kwadratu
x2 – d2 = (2x – p)2
Jak się to wyliczy, przeniesie na jedną stronę dostajemy:
3x2 - 4px + p2 + d2 =0
Możemy zastosować znane ze szkoły wzory by stąd wyliczyć x:
x = (2p +/- (p2 - 3d2)1/2)/3
I teraz Perelman pisze: by x było rzeczywiste, wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne. Najmniejsze możliwe p przy którym x jest rzeczywiste, to p= d31/2. Wtedy
x = 2d 31/2/3.
Wtedy sinus kąta BDC wynosi d/x t.j. 31/2/2. Zatem kąt BDC wynosi 60 stopni. Innymi słowy drogę należy poprowadzić pod katem 60 stopni do rzeki.
No dobrze, a co jeśli A leży tak blisko C, że droga pod katem 60 stopni sięgałaby za A?
Wtedy nasze rozumowanie się nie stosuje. Wtedy należy poprowadzić drogę wprost z B do A i o rzece w ogóle zapomnieć.
Komentarze