Pisałem o metryce Riemanna w dwóch wymiarach. Zadać metrykę to zadać macierz symetryczną o dwóch wierszach i dwóch kolumnach:
Pisałem, że pole macierzy symetrycznych g
[g11(x,y) g12(x,y)]
[g21(x,y) g22(x,y)]
g21(x,y) = g12(x,y)
opisuje geometrię Riemanna gdy macierze te reprezentują elipsy, a tak jest wtedy i tylko wtedy gdy zarówno wyznacznik macierzy g (ang. determinant)
det(g) = g11(x,y) g22(x,y) - g12(x,y)g21(x,y)
jak i ślad macierzy g (ang. trace)
tr(g) = g11(x,y) + g22(x,y)
są dodatnie.
Czas na najprostszy przykład. Najprostszy przykład to geometria Euklidesa. Jest to szczególny przykład geometrii Riemanna. Macierz g dla geometrii Euklidesa w kartezjańskim układzie współrzędnych to macierz g postaci
[1 0]
[0 1]
Zatem g11(x,y) = 1, g21(x,y) = g12(x,y) = 0, g22(x,y) = 1. Współczynniki tej macierzy są stałe. Nie zależą od x i y. Wyznacznik tej macierzy to 1. Ślad to 2. Są dodatnie. Mamy zatem geometrie Riemanna.
Co z taką geometria można zrobić? Co w ogóle można zrobić z geometrią Riemanna? Przede wszystkim można mierzyć długość krzywej łączącej dwa punkty A i B.
Jak to się robi? Najpierw dzieli się krzywą na małe odcinki.
Następnie bierzemy każdy z takich małych kawałków i stosujemy do niego zmodyfikowaną wersję twierdzenia Pitagorasa.
W geometrii Riemanna to zmodyfikowane twierdzenie wygląda tak:
ds2 = g11(x,y) (Delta x)2 + g12(x,y) Delta x Delta y + g21(x,y) Delta y Delta x + g22(x,y) (Delta y)2 (formuła R)
W geometrii Euklidesa, gdzie g11(x,y) = 1, g21(x,y) = g12(x,y) = 0, g22(x,y) = 1, mamy
ds2 = (Delta x)2 +(Delta y)2
czyli zwykłe twierdzenie Pitagorasa. W ogólniejszej geometrii Riemanna mamy wyrażenie nieco bardziej skomplikowane – trzeba uwzględnić metrykę!
Uwaga: Jest raczej wątpliwe czy to, co nazywamy twierdzeniem Pitagorasa rzeczywiście pochodzi od Pitagorasa. Sam Pitagoras niczego pisanego po sobie bowiem nie pozostawił i jak badacze historii piszą, zajmował się bardziej numerologią i polityką niż matematyką.
Obliczywszy kwadrat długości przeciwprostokątnej ds2 z formuły R, możemy obliczyć samą długość:
ds = pierwiastek kwadratowy z ds2 .
Dociekliwy umysł zapyta: a czy pierwiastek kwadratowy da się wyciągnąć? A co, jeśli ds2 z formuły R okaże się ujemne? Otóż nie może się okazać ujemne, bowiem znając trochę techniki algebraicznej można udowodnić, że ds2 jest zawsze nieujemne, a to dzięki narzuconym przez nas warunkom na ślad i wyznacznik macierzy g.
Wracając do naszej krzywej z pierwszego obrazka – dla każdego małego kawałka krzywej obliczamy ds, te wszystkie ds-y dodajemy do siebie i w ten sposób otrzymujemy przybliżoną długość krzywej. Chcemy lepsze przybliżenie? Nic prostszego – trzeba krzywą podzielić na mniejsze kawałki. Tak dzieląc i dzieląc w nieskończoność (matematyk takiej nieskończoności się nie obawia) możemy otrzymać „prawdziwą długość krzywej”. Ta procedura to nic innego niż „całkowanie”.
„Metoda krzywomierza
Najwygodniejszym przyrządem do pomiaru linii krzywych na mapie jest krzywomierz. 
Przyrząd ten składa się z ruchomego kółka, które prowadzi się po mapie, tarczy ze wskazówką i uchwytu. Najczęściej stosowane są w krzywomierzach tarcze o dwóch lub trzech podziałkach, które określają odległości w kilometrach na odpowiedniej skali. Inne rodzaje krzywomierzy podają jedynie wynik w centymetrach, który następnie należy przeliczyć na faktyczną odległość w terenie, w zależności od skali mapy.
Praktyczne posługiwanie się krzywomierzem jest bardzo proste. Przed przystąpieniem do pomiaru nastawiamy strzałkę na tarczy krzywomierza na odczyt 0. W celu sprawdzenia przyrządu na podziałce mapy mierzymy odcinek o znanej wielkości. Po ponownym nastawieniu strzałki na odczyt 0 prowadzimy kółko zębate po mierzonej linii i po zakończeniu pomiaru odczytujemy wynik. Każdy pomiar wykonuje się kilka razy i oblicza średnią.
Bardzo zbliżoną technikę obliczania odległości ma krzywomierz elektroniczny, który jest wielkości karty kredytowej. Wyglądem i w funkcjonowaniu niczym nie różni się od małego kalkulatora i dla osób które nie wiedzą, że to krzywomierz niczym szczególnym się nie wyróżnia. Jedyną przewagę jaką ma nad kalkulatorem to małe kółeczko w górnym rogu. 
Obok kółeczka na krawędzi znajduje się przełącznik, którym możemy ustawić tryb zwykłego kalkulatora lub krzywomierza. Aby móc przeliczyć długość wybranej krzywej, musimy najpierw ustawić skalę, w której ma być odczytywana odległość. Wynik bowiem, podawany jest bezpośrednio w kilometrach. Mamy do tego celu przygotowaną prostą ściągę ze skalami. I tak na mapie w skali 1:25 000 musimy wykonać następujące czynności: ustawić przełącznik na tryb kalkulatora i wstukać działanie 0 + 0,025, po czym przełączyć na tryb krzywomierza. Następnie przykładamy kółko do wybranej lini i wolno przesuwamy wzdłuż całej trasy. Po zakończeniu odczytujemy wynik. Dla dokładności możemy sprawdzić kilka razy i wyciągnąć średnią.”
Znajdziemy tam też inne metody mierzenia długości krzywych na mapach. Geograf czy żeglarz wierzy przy tym, że długości krzywych z płaskiej mapy odpowiadają długościom rzeczywistych krzywych na powierzchni Ziemi, która płaską nie jest. Troszczą się o to kartografowie, którzy znają różne triki jak sferę rozpłaszczać, by możliwie wiernie zachować odległości. Na małych obszarach nie ma z tym problemu, ale jeśli ktoś krzywomierzem chciałby zmierzyć odległość od bieguna północnego do południowego, nie byłbym pewny wyniku.....
W kolejnym odcinku zobaczymy inny przykład – geometrii nieeukliedesowej a także dowiemy się jak przenosić równolegle wektory wzdłuż krzywych – tym razem przenosić bez torsji.
