W poprzedniej notce wprowadziłem dwu-wymiarową geometrię Riemanna. Można badać geometrię Riemanna w dowolnej liczbie wymiarów. Począwszy od geometrii Riemanna jedno-wymiarowej, prawdę mówiąc niezbyt ciekawej, poprzez dwuwymiarowe (o wiele ciekawsze, choc nieco szczególne), aż do ..... geometrii Riemanna w nieskończenie wielu wymiarach. Tymi ostatnimi zajmują się m.in. fizycy starający się (bez wielkiego powodzenia) „skwantować grawitację”. Muszę tu jednak być nieco precyzyjniejszy by uniknąć możliwych nieporozumień.
Ograniczmy się do dwóch wymiarów. Pisałem, że pole macierzy symetrycznych g
[g11(x,y) g12(x,y)]
[g21(x,y) g22(x,y)]
g21(x,y) = g12(x,y)
opisuje geometrię Riemanna gdy macierze te reprezentują elipsy, a tak jest wtedy i tylko wtedy gdy zarówno wyznacznik macierzy g (ang. determinant)
det(g) = g11(x,y) g22(x,y) - g12(x,y)g21(x,y)
jak i ślad macierzy g (ang. trace)
tr(g) = g11(x,y) + g22(x,y)
są dodatnie.
A jednak na animacji pokazywałem krzywe:
g11x2 + 2 g12xy + g22y2 = 1
Gdy wyznacznik staje się zerem – mamy szczególny przypadek. Ani to elipsa ani hiperbola, cos pośredniego a mianowicie para prostych równoległych. Można je uważać za przedstawiające elipsę której ogniska „uciekły w nieskończoność”. Można uważać za dwu-gałęziową hiperbolę, która się „wyprostowała”.
Najprostsza elipsa to po prostu okrąg opisywany równaniem
x2 + y2 = 1
Z okręgiem tym związana jest macierz diagonalna, jednostkowa:
[1 0]
[0 1]
Najprostsza hiperbola opisywana jest równaniem
x2 - y2 = 1.
Z hiperbolą tą związana jest macierz diagonalna:
[1 0]
[0 -1]
Prosta zmiana znaku a jakżeż zmienia się charakter krzywej! W pierwszym przypadku wyznacznik równy jest 1, w drugim przypadku -1.
Geometrie z ujemnym wyznacznikiem też są ważne, bardziej w fizyce niż w matematyce. Matematycy za nimi nie przepadają, uważają je za geometrie pośledniejszego gatunku. Ale fizycy bez nich obejść się nie mogą. Cała szczególna i ogólna teoria względności na takich geometriach stoi. Sam Einstein początkowo respektował wymagania matematyków, mianowicie „ma być plus a nie minus!” Ale potrzebował minusa. Co zrobił? Dobrze, powiedział, zgodzę się na plus, ale moje y będzie urojone, wtedy y2 będzie ujemne i będę miał to, co mi potrzeba. Z biegiem czasu matematycy prawo do istnienia takich geometrii uznali i, z dwojga złego, woleli zgodzić się na możliwy minus niż na urojone współrzędne. Nie byli jednak (matematycy) skłonni do zakładania, że w jednym świecie mogą zachodzić oba przypadki na raz. W jednym kawałku przestrzeni znak plus, w innym znak minus. Nie, to dla matematyków było za dużo. A fizycy dzisiaj takie możliwości rozważają – przejście fazowe geometrii, tak jak woda może stać się lodem, tak czas może stać się przestrzenią – gdy „temperatura eteru” odpowiednio wzrośnie lub zmaleje. Nie potrafię powiedzieć kto pierwszy poważnie zaczął rozważać taką możliwość, zwykle powołuje się tu na Saharowa – tego od radzieckiej bomby atomowej i następnie pokojowej nagrody Nobla. Zacytuje tu mały fragmencik z angielskiej Wikipedii:
... He especially tried to explain the baryon asymmetry of the universe, being the first scientist to introduce two universes called "sheets", linked by the Big Bang. Sakharov achieved there a complete CPT symmetry since the second sheet is enantiomorph (P-symmetry), has an opposite arrow of time (T-symmetry) and is mainly populated by antimatter (C-symmetry) because of an opposite CP-violation. In this model the two universes do not interact, except via local matter accumulation whose density and pressure would become high enough to connect the two sheets through a bridge without spacetime between them, but with geodesics continuity beyond the radius limit allowing an exchange of matter. Sakharov called such singularities a collapse and an anticollapse, which are an alternative to the couple black hole and white hole in the wormhole theory. Sakharov also proposed the idea of induced gravity as an alternative theory of quantum gravity....
Ciekawe, że pojawia się tu temat dwóch wszechświatów, świata i anty-świata. Przypomnę, że tego rodzaju kosmologia przewijała się już u Pitagorejczyków. Ci sądzili, że jest Ziemia i przeciw-Ziemia. Mój przyjaciel, astrofizyk, Jean-Pierre Petit, pisze prace naukowe o dualnym wszechświecie świecie podobnym do tego u Saharowa. Natchnienie czerpie prawdopodobnie z „przekazów Ummitów” (nie będę wchodził w to kim lub czym są ci Ummici - ang. Ummos). Moi znajomi z Kasjopei dla odmiany sugerują, że nasze Słońce ma „ciemnego towarzysza”, raczej zimnego i dalekiego. Tego typu spekulacje można (choć rzadko) spotkać także u astronomów spoza głównego nurtu.
Wracając do znaku plus i znaku minus: gdy wyznacznik macierzy reprezentującej „metrykę” jest dodatni, matematyk mówi o geometrii riemanowskiej, gdy jest ujemny, by nie było nieporozumień, nazywa to geometrią pseudoriemanowską.
Terminologia jest tu niezwykle myląca, bo matematyk zna także coś takiego jak pseudosfera. Otóż pseudosfera to przykład geometrii riemanowskiej a nie pseudoriemanowskiej. Do pseudosfery prawdę mówiąc powoli zmierzamy. Juz się nawet o nią, nie wiedząc nawet, otarliśmy przy okazji dyskusji torsji.
