Weźmy płytkę wykonaną z elastycznej materii i narysujmy na niej okrąg. Jeśli tę płytkę rozciągniemy lub ściśniemy w jakimś kierunku – okrąg przekształci się w elipsę. To rozciągnięcie lub ściśnięcie nie musi być takie samo w każdym punkcie płytki. Płytka może być niejednorodna – tu cieńsza tu grubsza. Okręgi będą się wtedy różnie deformować, zależnie od położenia ich środka na płytce.
Taka elastyczna płytka z narysowanymi na niej elipsami – przy czym te kształt tych elips może się płynnie zmieniać zależnie od położenia ich punktu środkowego to model dwuwymiarowej geometrii Riemanna.
Tak naprawdę, gdybyśmy chcieli być matematycznie ściśli, te elipsy winny być w przestrzeniach stycznych do płytki a nie na płytce, ale poprawna matematyczna definicja przestrzeni stycznej (a jest ich parę, równoważnych) nie jest czymś na kilka linijek lub nawet kilka wpisów. Zostawmy więc tą ścisłość na boku. Nie będzie nam zresztą potrzebna.
Weźmy połówkę sfery – przeciętą na pół piłkę pinpongową i połóżmy na stole. Znów wyobraźmy sobie, że piłka jest wykonana z materiału elastycznego. Przygniećmy ją z góry. Rozpłaszczy się do dysku. Pokazując ten okragły dysk komuś, nie będzie on mieć pojęcia, że dysk ten powstał przez przypłaszczenie sfery. Mógł wszak także powstać z przypłaszczonego kapelusza!
Weźmy jednak cyrkiel i na naszej oryginalnej połówce piłki pinpongowej narysujmy wiele małych okręgów o tym samym promieniu. Następnie ją rozpłaszczmy. Nasze okręgi staną się elipsami – zdeformują się. Ta deformacja będzie zależna od położenia okręgu. Ten centralny okrąg nadal będzie okręgiem, tyle, że zmieni się jego promień – rozciągnie się równomiernie.
Jeśli teraz pokażemy komuś bystremu nas dysk z elipsami, ten będzie mógł odtworzyć naszą połówkę pilki i nie pomyli jej z kapeluszem. Bo okręgi na przypłaszczonym kapeluszu będą się deformować inaczej. (Przypomina mi się historia o kimś kto pomylił bodaj żonę z kapeluszem, ale nie pamiętam skąd jest ta historia).
Nasza wyobraźnia ma zatem jakąś pożywkę. Ale nie samą wyobraźnią człowiek żyje. Człowiek żyje także pracą. A praca, w przypadku geometrii Riemanna, to algebra i rachunek różniczkowy. Bez tego ani rusz. Pomaga nam w tym diabełek algebry.
Jak zadać elipsy na kawałku płaszczyzny, jedną elipsę w każdym punkcie (x,y), tak by te elipsy zmieniały się gładko od punktu do punktu? Od tego są macierze. Wiemy, że z każdą elipsą można związać macierz symetryczną
[A B]
[B C]
Muszą być tylko wyznacznik AC-B2 dodatni i ślad A+C dodatnie. Jeśli chcemy zezwolić na to, by nasze elipsy mogły się zmieniać od punktu do punktu, współczynniki A,B,C winny być funkcjami od punktu. Takie zmienne pole elips można zatem opisać przez macierze
[A(x,y) B(x,y)]
[B(x,y) C(x,y)]
Takie pole elips opisane przez macierz której elementy są funkcjami nazywamy metryką. W geometrii Riemannna metrykę oznaczamy zwykle literką g, zaś elementy macierzy zapisujemy jako:
[g11(x,y) g12(x,y)]
[g21(x,y) g22(x,y)]
Przy tym g21(x,y) = g12(x,y).
Uwaga: Ponieważ piszę o dwóch wymiarach, macierz g ma dwa wiersze i dwie kolumny. W trzech wymiarach miałaby trzy wiersze i trzy kolumny i jej elementy zależałaby na ogól od x,y i z. W czterech wymiarach cztery wiersze i cztery kolumny itd.
Znając metrykę można wyrachować geodezyjne – najkrótsze linie łączące dwa punkty. Na sferze są to łuki wielkich kół – okręgów w płaszczyznach przechodzących przez centrum. Po rozpłaszczeniu takie łuki nie są na ogół proste – są krzywymi. A jednak są „prostymi” w tym sensie, że są najkrótszymi drogami gdy wzorcem metra jest nasza metryka pamiętająca oryginalny kształt a nie jakiś metr na płaszczyźnie na którą naszą piłkę rozpłaszczyliśmy.
Mając zadaną metrykę g możemy starać się zrekonstruować oryginalną powierzchnię (np. naszą piłkę pinpongową lub kapelusz) przez rozpłaszczenie której nasza metryka powstała. Okazuje się, że nie zawsze jest możliwe. Istnieją takie metryki których nie powstały z żadnej porządnej powierzchni zanurzonej w trzech wymiarach. Czasem trzeba więcej wymiarów, czasem trzeba kawałek naszej geometrii „odpuścić” i być zadowolonym z rekonstrukcji choćby jej kawałka. Z jedną z takich globalnie nierekonstruowalnych geometrii Riemanna (wymawiaj „Rimana”) będziemy zresztą mieć do czynienia już wkrótce.
Zaczniemy wszak od prostszych przykładów.
Anegdotka na zakończenie:
Wójt w pewnej chińskiej wiosce zwołał wszystkich mężczyzn z wioski. Burmistrz stanął w środku eliptycznego placu i zwrócił się do przybyłych. Polecił by wszyscy mężczyźni którzy obawiają się swoich żon zgromadzili się wokół lewego ogniska elipsy, zaś ci co się żony nie boją – w prawym ognisku. Wszyscy z wyjątkiem jednego człowieka przeszli do ogniska lewego. Burmistrz zwrócił się, promieniując uśmiechem, do samotnego mężczyzny w prawym ognisku: „Gratuluję! Jak to możliwe, że jest pan jedynym mężczyzną w tym ognisku?” Mężczyzna z trudem wyjąkał „Moja żona zabrania mi bym mieszał się z tłumem.”
Komentarze