Pole okręgu wyraża się wzorem P = pi r2. Jeśli promień wynosi 1 (r = 1), to pole równe jest pi. Rozciągając okrąg jednostkowy a razy wzdłuż osi x oraz b razy wzdłuż osi y otrzymujemy elipsę o półosiach a i b. Pole pomnoży się przy tym przez iloczyn a i b, t.j. Przez ab. Stąd pole naszej elipsy to
P = pi ab.
Dla elipsy na rysunku powyżej pole powierzchni wynosi 3 pi.
Równanie naszej elipsy to
x2/a2 + y2/b2= 1. (1)
Równanie ogólne elipsy, o dowolnych osiach i środku w początku układu współrzędnych to
Ax2 + 2B xy +Cy2 =1.
Widać, że dla naszej elipsy należy wziąć
A = 1/a2, B =0, C = 1/b2. (2)
Z elipsą opisaną równaniem Ax2 + 2B xy +Cy2 =1 diablik algebry związał macierz symetryczną:
[A B]
[B C]
Macierzy będzie więcej, dobrze więc móc zapisywać macierze w stylu bardziej odpowiednim do formatu tekstu. Serwer w Salonie nie ma tej możliwości przetwarzania i serwowania formuł matematycznych jaką ma np. serwer witryny matematyka.pl. Wygodnie zapisywać więc macierze w postaci [A,B;C,D]. Wiersze oddzielone są średnikiem. Nasza macierz powyżej to [A,B;B,A]. Nietrudno ten zapis w wyobraźni przetworzyć na kwadratową tabelkę. Macierz związana z elipsą (1) to zatem
[ 1/a2 0 ]
[ 0 1/b2]
lub w naszym tekstowym zapisie[1/a2 , 0; 0, 1/b2]. Jest To macierz diagonalna (przekątniowa).. Na przekątnej stoją liczby dodatnie (kwadraty liczb rzeczywistych 1/a i 1/b. Jeśli macierz diagonalna [A,0;0,C] ma opisywać elipsę, to A i C muszą być dodatnie. Wtedy półosie elipsy to
a = 1/√A,
b= 1/√C (c)
I w tym momencie w mojej głowie odezwał się diablik algebry. Dociekliwa to bestyjka, zwinna. Zadał mi niewinne pytanie: jeśli z elipsą można związać macierz symetryczną
[A B]
[B C]
to z czym można związać macierz niesymetryczną postaci
[A B]
[C D]
????
Męczył mnie ten diablik przez cała noc, spać nie dawał! Rankiem przyszła Eureka – ależ to proste!
P.S. W „Kalejdoskopie matematycznym” (jest do ściągnięcia z sieci rosyjskie wydanie) Steinhaus dyskutował bilard eliptyczny (lub odbicia promienia świetlnego) o którym pisałem w notce „Elipsy”. Oto ilustracja wzięta z rosyjskiego tłumaczenia Kalejdoskopu ( z serii Biblioteka „Kwant”, 1981):
(Pierwsza elipsa ilustruje fakt, że planeta na orbicie eliptycznej zakreśla w ciągu np. jednego dnia to samo pole, bez względu na to czy to dzień zimowy czy letni, czy wiosenny).
