Notka ta jest dość techniczna. Jak znajdzie się choć jeden czytelnik, to już to przekroczy moje oczekiwania. Ale skoro Cartan mógł tłumaczyć Einsteinowi to, co rozumiał, w salonie Hadamarda, niezależnie od tego czy Einstein słuchał czy nie, to i ja mogę wytłumaczyć, to co rozumiem, Einemu w Salonie24, niezależnie od tego czy przeczyta czy nie. W dodatku mój przykład jest prostszy od przykładu Cartana. W dodatku ten przykład nie jest mój, ale pochodzi z pracy dyplomowej parabolicznego fizyka Zbyszka Patczyka.
Zapomnijmy na razie o parabolach i zajmijmy się światem lub areną w której parabole mieszkają. Ten świat to „górna półpłaszczyzna”. We współrzędnych są to punkty o współrzędnych (x,y), gdzie y jest większe od zera. Dnem tej półpłaszczyzny jest Prosta y=0. Półpłaszczyzna to obszar nad tą prostą.
Zbyszek P przyglądał sie tej półpłaszczyźnie i zapragnął wyposażyć ją w torsję. W końcu sam wielki Einstein pisał o torsji, o Fernparallelismus i o n-beinach, które Cartan nazywał repère mobile. W świecie parabol mamy n=2, będą to zatem dwunogi. Hmmm, zastanawiał się Zbyszek, jakie to dwunogi można wyhodować na półpłaszczyźnie, tak by rosły zgodnie z naturą? Jedyne co mu przyszło do głowy to dwunogi naturalne. Mając punkt (x,y) na górnej półpłaszczyźnie, tylko jeden naturalny wektor można z tego punktu poprowadzić: pionowo w dół, aż do Prostej, nazwijmy go e1. Wtedy można poprowadzić drugi naturalny wektor: poziomo w prawo, tej samej wielkości co e1, nazwijmy go e2. I stworzył Zbyszek dwa pola wektorowe: pole e1 wektorów pionowych i pole e2 wektorów poziomych. Wyglądało to jakoś tak, gdzie wektory pionowe są zielone a wektory poziome żólte:
We współrzędnych można to zapisać jako
e1(x,y) = (0, -y)
e2(x,y) = (y, 0)
Tak postał Zbyszkowy Dwunóg. Dalej musiał Zbyszek wyrachować teleparalelną koneksję tzn. przepis przenoszenia wektora z punktu do punktu, przepis niezależny od drogi którą wektor przebywał. Słowami opisać ten przepis jest prosto: przenosimy wektor z jednego punktu do drugiego punktu tak, by jego składowe względem dwunogów w tych różnych punktach były identyczne.
W geometrii jest tak, że czasem wysłowić jakąś regułę jest łatwiej niż ją zapisać. Zbyszek musiał teraz obliczyć współczynniki koneksji afinicznej odpowiadające tej wręcz trywialnej regule Fernaparallelizmu. Zbyszek użył symbolu duże Gamma, dla współczynników koneksji (Einstein używał dużego Delta, i kolejność wskaźników u Einsteina była odwrotna niż u Zbyszka). Wyszło mu tyle:
Gamma222 (x,y) = -1/y
Gamma211 (x,y) = -1/y
a reszta Gamm to zera.
Stąd Zbycho szybko wyrachował równania „prostych” lub geodezyjnych (ściślej: autoparaleli). Wyszło tak:
x'' = x'y'/y
y'' = y'y'/y
Drugie z równań dało się od ręki rozwiązać:
y(t) = y0exp(ct)
gdzie c jest dowolną stałą. Stąd y'/y = c. Podstawiając to do pierwszego równania dostajemy
x'' = cx'
co też się daje od ręki rozwiązać, bo albo c = 0 i wtedy
x(t) = at + x0,
albo, gdy c jest różne od zera, wtedy
x(t) = a (exp(ct) – 1) +x0
skąd w szczególności wynika, że
x(t) = a(y(t)/y0 -1) + x0
zatem „proste” z kształtu są liniami prostymi – niespecjalnie ciekawe. Ale „proste” to coś więcej niż tylko kształt, to także parametr t, który nie jest jakiś dowolny, ale ma być taki by były spełnione równania, wtedy rozwiązania wyglądają tak jak to Zbych wyrachował.
Następnie Zbych zajął, z braku lepszego zajęcia, torsją. Z Gamm wynikało od razu, że jest torsja:
T121 = 1/y
ale Zbyszek postanowił sprawdzić, czy rzeczywiście tak jest, że jak jest torsja, to kwadraty się nie zamykają. Postanowił więc narysować „kwadrat” zgodnie z geometrią określoną przez jego Dwunóg.
Zacznę od punktu A=(0,10), pomyślał Zbyszek i tak zrobił. Pociągnę stąd „prostą” w kierunku wektora e1, tzn prosto w dół. Ponieważ e1 w punkcie (0,10) to wektor (0,-10), to prosta w dół dana jest równaniem
x(t) = 0
y(t) = 10 exp(-t)
(Stała c musi być równa 1, jeśli (x'(0),y'(0)) ma wynosić (0,-10). ). Weźmy t = epsilon – ten wybór decyduje o wielkości rysowanego kwadratu.
Nazwijmy otrzymany punkt, o współrzędnych (0,10 exp(-epsilon), punktem B. A jak będzie wyglądał wektor e2 przeniesiony z punktu A do punktu B? Musi być równy e2 w punkcie B, musi mieć zatem składowe (10 exp(-epsilon),0). Teraz z punktu B wypuśćmy „prostą” w kierunku e2 . Jest to prosta pozioma
x(t) = at
y(t) = 10 exp(-epsilon)
Ponieważ ma być (x'(0),y'(0)) = e2 =(10 exp(-epsilon),0), to stała a musi być równa 10 exp(-epsilon). Zatem
x(t) = 10 exp(-epsilon)t
y(t) =10 exp(-epsilon).
Ale skoro ma to być kwadrat, to za t musimy podstawić epsilon. Tak otrzymujemy punkt C o współrzędnych (10 exp(-epsilon) epsilon, 10 exp(-epsilon)).
Teraz wróćmy do punktu A i pójdźmy stamtąd poziomo, w kierunku wektora e2 . Wyjdzie prosta pozioma:
x(t) = 10t
y(t) = 10
Biorąc t = epsilon dostajemy punkt D o współrzędnych (10 epsilon, 10). Teraz z punktu D pójdźmy pionowo w dół. Odpowiednia „prosta” to
x(t) = 10 epsilon
y(t) = 10 exp(-t)
Biorąc t = epsilon dochodzimy do punktu C' w współrzędnych (10 epsilon, 10 exp(-epsilon)). Na rysunku, dla epsilon = 1/5 wygląda to tak
W ogólności niedomknięcie kwadratu jest rzędu epsilon do kwadratu a współczynnik przy epsilon2, gdy epsilon dąży do zera, mówi nam o torsji.
Jak to możliwe, zapyta wiedźma, że wektor AO jest tej samej długości co wektor BO? Przecież widać, że BO jest krótszy od AO! . A jednak możliwe, bo wektor AO jest styczny do prostej w punkcie A, zaś BO jest styczny w punkcie B. To, że nachodzą na siebie to pułapka przedstawienia graficznego. Aby to zrozumieć, nawińmy naszą półpłaszczyznę (no, jej narysowany kawałek) na poziomy walec. Wtedy wektor narysowany tutaj jako AB w ogóle do B nie dosięgnie, będzie skierowany w przestrzeń kosmiczną, stycznie do okręgu AO. Wektor narysowany jako BO będzie strzelał w trzeci wymiar z punktu B – już nie będę tego malował, nie maluje nasza wyobraźnia. Innymi słowy, w podróży z A do O wzorzec metra się jakby skraca - w stosunku do wybranego przez nas kartezjańskiego układu współrzędnych. A czy można wybrać inny układ współrzędnych, tak by respektował ten płynny wzorzec metra i nasze pola wektorowe? Matematyka mówi nam, że nie można. A dlaczego nie można? Bo jest torsja i kwadraty się nie zamykają!.Byłby to zeszyt w kratkę z niedodrukowanymi dolnymi prawymi rogami. Technicznie: „pola wektorowe e1 i e2 nie są przemienne, ich nawias (lub „komutator”) [e1 , e2] jest różny od zera. Fizycy i matematycy mają na to jeszcze inny termin: dwunóg e1 , e2 jest „nieholonomiczny”. Ale to nam do niczego nie będzie potrzebne.
Ta geometria z torsją, z niedomykającymi się kwadratami, to tylko jedna z geometrii którymi się bawił Zbyszek. Stąd niedaleko wszakże do innej geometrii, ciekawszej.
Cdn.
