Nasz student na imię miał Zbigniew a na nazwisko Patczyk (nie mylić z Carausius morosus ). Interesował się zarówno paraboliczną grawitacją jak i paraboliczną kwantyzacją. Pierwszy opiekun jego pracy dyplomowej lubił popić z parabolicznej butelki i na wykłady przychodził (kiedy przychodził) w nastroju dość wesołym. Zbyszek więc dość szybko, pod jakimś wymyślonym pretekstem zmienił opiekuna. Nowy opiekun, matematyk, był niewątpliwie dziwakiem, syna miał w parabolicznym klasztorze, ale dziwactwa jego nie przeszkadzały mu w poświęcaniu ciepła, serca i czasu swojemu nowemu studentowi. Dał mu też raczej dziwaczny temat: przyjrzeć się kosmologicznemu modelowi księdza Jana Palkigórnego i coś nowego wymyślić, najlepiej żeby się wszystko dało wyliczyć metodami z liceum (nic poza pochodną, no, w najgorszym razie całką) i wyjaśnić uczniom, choć Zbyszek dostał też do studiowania grube tomiska parabolicznej matematyki, tomiska z których na początku nie rozumiał w ogóle i absolutnie nic. Podobnie jak nie rozumiał nic z modelu Palkigórnego.
Po paru miesiącach grube tomiska przestały straszyć, jak również sam model nad którym miał pracować, po odrzuceniu zbędnych przystawek, okazał się nie tak znów groźny. Gorzej było z wymyśleniem czegoś nowego. Nijak Zbyszkowi żadna oryginalna myśl do głowy nie przychodziła. Rachował więc sobie ot tak, dla zabawy, to to, to tamto. Kiedy wreszcie przyszedł czas na zdanie sprawozdania przed opiekunem ten, ku zdumieniu Zbyszka, stwierdził, że o to właśnie chodziło, że teraz to wszystko trzeba spisać i praca gotowa. Szybko się obronić i do prawdziwej roboty!
Łatwo powiedzieć „spisać”. Wiele obliczeń Zbyszek robił na pałę, bez sprawdzania, na luźnych kartkach, brakowało w nich logiki. Dorobienie logiki do wyników zajęło następnych parę miesięcy. W końcu praca „Pewne uwagi o Palkigórnego modelu Wszechświata” była gotowa. Jako, że miałem do niej dostęp, opiszę po krótce jej treść.
Zbyszka niepokoiło to, że w modelu Palkigórnego tylko jedna parabola nabrała sensu – jako pole grawitacyjne, zresztą raczej trywialne, na Okręgu. A co z innymi parabolami? Im też coś się należy. Popatrzmy jakich to prostych sztuczek magicznych dokonał Palkigórny. Wziął jedynkę (stałe pole wektorowe na okręgu), pomnożył przez pochodną funkcji x(t) = -ctg(t/2), zrobił proste podstawienie, no i dostał parabolę Matkę v(x) = (½) (1+x2 ). Nic w tym nie ma nadzwyczajnego, pomyślał Zbyszek. Wezmę parabolę dowolną z planety parabol, podzielę przez pochodną z funkcji -ctg(t/2) i dostanę pole wektorowe na okręgu, może nawet ciekawsze od tego stałego. Jak powiedział, tak i zrobił. Ogólna parabola z planety parabol ma postać
y(x) = (½) ((x-p)2/q +q)
gdzie p jest dowolną liczbą rzeczywistą, zaś q jest większe od zera. No to podstawmy tu x = -ctg(t/2) i wynik podzielmy przez pochodną t.j. 1/(2 sin(t/2)2) . W rezultacie otrzymamy pole wektorowe na okręgu. Zbyszek to wyliczył i wyszło
v(t) = (1+p2+q2+Cos[t]-p2Cos[t]-q2Cos[t]+2 p Sin[t])/(2 q)
To jest pole wektorowe (grawitacja?) na okręgu odpowiadające paraboli o ognisku w punkcie (p,q). Zbyszek jednak na tym nie spoczął, przypomniał sobie bowiem transformację Cayleya i transformację odwrotną. Transformacja Cayleya przekształca górną półpłaszczyznę na wnętrze okręgu. Transformacja odwrotna przekształca wnętrze okręgu w górną półpłaszczyznę. Ponieważ ognisko (p,q) paraboli leży w górnej półpłaszczyźnie, jest obrazem pewnego punktu we wnętrzu okręgu. Ten punkt trzeba znaleźć i zobaczyć jakie pole wektorowe na okręgu mu odpowiada. Potem to wszystko przedstawić graficznie, może wtedy coś da się zobaczyć, jakąś prawidłowość....
Gdyby to wszystko zadziałało, wtedy każda z parabol byłaby reprezentowana przez punkt wewnątrz okręgu. Parabola Matka mogłaby wyjść reprezentowana przez punkt centralny. Jej pole grawitacyjne byłoby jednostajne, choćby ze względu na symetrię. Inne parabole byłyby fluktuacjami (kwantowymi?) punktu centralnego, czymś w rodzaju stanów wzbudzonych i generowane przez nie pola grawitacyjne byłyby fluktuacjami pola podstawowego (pola Matki, pola „tła”) pochodzącego od Matki. Życie innych parabol nabrałoby sensu.
Gdy Zbyszek Patczyk to wszystko sobie obliczył i narysował, zatarł z uciechy ręce. Niezła zabawa, powiedział sobie. Oto wykres odwrotności długości kroku na okręgu (jako funkcja od kąta t mierzonego w radianach) dla parabol o ogniskach w (p,q), gdzie p przebiega liczby całkowite od -5 do 5, zaś q od 1 do 5. Parabola Matka jest przedstawiona kolorem czerwonym:
Wyniki tej zbyszkowej zabawy poznamy już w następnym odcinku. Dziś, na zakończenie, Carausius morosuswpisany w okrąg – w tle Kasjopea:
cdn
