Matematyka w otaczającym nas świecie

„Odkryć, uzasadnić i stosować w życiu prawdy matematyczne to ważne zadania każdego, kto uczy się matematyki”. Takim mottem zaczyna się podręcznik „Matematyka w otaczającym nas świecie” autorów A.Cewe, M. Krawczyk, M. Kruk, H. Nahorska, I. Pancer, R. Ropela – kształcenie w zakresie rozszerzonym.Warto sie w ten podręcznik zaopatrzyć. „Podręczniki "Matematyka w otaczającym nas świecie" cz.1. i cz.2. stanowią całość treści przewidzianych w podstawie programowej z zakresu kształcenia podstawowego dla liecum i technikum uzupełniajego.” Czy można odkryć prawdy matematyczne? Odkrywamy je co i rusz, temu m.in. służą moje notki. Po co inaczej bym pisał o parabolach? Z uzasadnieniem może być trudniej, bowiem istnieje wiele poziomów uzasadnienia, od prostego uświadomienia sobie pewnej prawdy, poprzez dowód matematyczny aż do wątpliwości czego właściwie dowód dowodzi?

Jak prawdy matematyczne w życiu stosować? To już każdy musi odkryć sam, bo każde życie jest inne. Ja je stosuję starając się myśleć w miarę ściśle, bez nadmiernych uogólnień. Moją metodę nazywam racjonalną irracjonalnością. Nie wszystkim zapewne będzie się ona podobać. De gustibus non disputandum.

Przystąpmy teraz do rekonstrukcji rozumowania księdza Jana Palkigórnego. W znalezionym w Bibliotece Patykanu starym manuskrypcie osie były obrócone 0 90 stopni w kierunku wskazówek zegara w stosunku do układu osi jakiego się uczymy w szkole. Palkigórnemu nie sprawiało to większych trudności – miał wszak filozoficzne usposobienie i obracać rzeczy w głowie musiał często. Wyglądało to, wraz z oznaczeniami wprowadzonymi przez Palkigórnego tak:

Widać, że -x(phi)/1 = tg(alpha). Do trójkątów PAB i POB możemy zastosować twierdzenie o kacie wpisanym i kacie środkowym, stąd kąt PAB to połowa kata POB. Katy OPB i OBP jako kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego o dwóch bokach równym promieniowi okręgu. Kąt APB jest kątem prostym. Dodając kąty w trójkącie APO otrzymamy:

phi/2 + (90 – alpha) + (180 – phi) = 180,

skąd otrzymujemy

alpha = 90 – phi/2

Palkigórny skorzystał następnie z formuły na str. 211 drugiej części „Matematyki w otaczającym nas świecie”

tg(pi/2 – phi/2) = ctg(phi/2)

stąd

x(phi) = -ctg(phi/2).

Wstawka dla nie lękających się liczb zespolonych: W notce „Niezbadane są wyroki opaczności” podałem formułę na odwrotną transformatę Cayleya:

z = i (1+w)/(1-w)

Przekształca ono dysk jednostkowy w górną półpłaszczyzną a okrąg jednostkowy, brzeg dysku, w oś y=0. Podstawiając za w exp(i phi), mnożąc licznik i mianownik przez exp(-i phi/2), po prostych przekształceniach otrzymamy dokładnie formułę x(phi) = -ctg(phi/2), gdzie x jest częścią rzeczywistą z.

Aby pójść dalej śladem rozumowania księdza Palkigórnego musimy wyjść poza podręcznik do drugiej klasy liceum, nawet z programem rozszerzonym. Musimy wprowadzić, jak to zrobił ksiądz, pojęcie pola wektorów stycznych.

Ale o tym w następnej nocie.