La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi ....
Hmm.... Co to za język? Kto to napisał? Dlaczego? Po co? Popatrzmy.
"Sans les mathématiques on ne pénètre point au fond de la philosophie. Sans la philosophie on ne pénètre point au fond des mathématiques. Sans les deux on ne pénètre au fond de rien."
Gottfried Leibniz
Bez matematyki nie możemy do głębi przeniknąć filozofii.
Bez filozofii, nie możemy głęboko wniknąć w matematykę.
Bez obydwu nie możemy w ogóle w nic głęboko wniknąć.
La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l'universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.
Galileo Galilei
Filozofia zapisana jest w tej wielkiej księdze
która cały czas leży otwarta przed naszymi oczami (mam na myśli wszechświat),
ale niczego nie możemy w niej pojąć póki najpierw nie opanujemy języka i nie poznamy znaków przy użyciu których jest zapisana.
A jest ona zapisana w języku matematyki a znakami są trójkąty, okręgi i inne figury geometryczne;
Nie znając ich nie leży w ludzkich możliwościach zrozumienie otaczającego nas świata, bez nich pozostaje jedynie błąkanie się po omacku w ciemnym labiryncie.
A co mi tam Leibniz! Co mi tam Galileusz, powie Michał, Stanisław czy Waldemar. „Tego całego Galileusza i słusznie skazano na areszt domowy” – zauważy ktoś inny. Lub: „kiepsko przetłumaczyłeś” - powie wiadomo kto. I tak to już jest. Są ludzie czuli na pewne tony, zaś inni ich w ogóle nie czuje albo, jeśli je czują, to tony te tych ludzi drażnią. Aby zrozumieć czemu przyszło nam żyć w takim dziwnym, skomplikowanym na pozór świecie ludzi i rzeczy, nie ma innej rady niż poznanie znaków i języka „wielkiej księgi”. A językiem tym jest język matematyki.
Więc, by ucieszyć Wasze spragnione oczy, oto fragmencik.
W poprzedniej nocie przedstawiłem „spadochron Kleina”. Figurę w górnej półpłaszczyźnie zespolonej z=x+iy, y>0. Składa się ze 168 trójkątów, ale trójkąty te są trójkątami w geometrii hiperbolicznej, geometrii nieeuklidesowej, geometrii Bolyai-Łobaczewskiego. Boki trójkątów są w tej geometrii prostymi, zaś w naszej geometrii łukami okręgów, okręgów o tej własności, że przecinają oś x pod kątem prostym.
Aby ten spadochron zrobić potrzebna była oczywiście formuła jak poprowadzić taką nieeuklidesową prostą pomiędzy dwoma punktami. W „naszej” geometrii to proste – przykładamy linijkę i ciach! Albo, jeśli ktoś chce nakazać zrobić to komputerowi, może to zrobić tak:
Niech z1 = a + ib, z2 = c + id, wtedy punkty z(t) = x(y) + iy(t) na odcinku prostym łączącym z1 i z z2 dane są wzorem:
x(t) = (1-t) a + t c
y(t) = (1-t) b + t d
gdzie t zmienia się od 0 do 1. Proste, nieprawdaż? A jak to wygląda w modelu górnej półpłaszczyzny geometrii hiperbolicznej? Algorytm, wynikający z matematyki, wygląda tak:
Jeśli a=c, wtedy rysuj zwykły (pionowy) odcinek od (a,b) do (c,d).
W przeciwnym razie obliczaj:
r=Sqrt[(b^2+(a+(a^2+b^2-c^2-d^2)/(2 (-a+c)))^2)]
alpha=ArcTan[b/(a+(a^2+b^2-c^2-d^2)/(2 (-a+c)))]
Teraz rozważ dwa przypadki:
Jeśli a^2+b^2-2a*c-d^2 =0 wtedy beta = Pi/2, w przeciwnym razie:
beta = ArcTan[d/(c+(a^2+b^2-c^2-d^2)/(2 (-a+c)))]
Jeśli alpha < 0, alpha=alpha + Pi
Jeśli beta < 0, beta = beta + Pi
Rysuj trajektorię:
x(t) = r Cos(t)-(a^2+b^2-c^2-d^2)/(2 (-a+c))
y(t) = r Sin(t)
t zmienia się od alpha do beta.
W moich przymiarkach do produkcji spadochronów najpierw zapomniałem o tym, że może zajść przypadek a^2+b^2-2a*c-d^2 =0. W rezultacie w czasie rysowania jednego z trójkątów pojawił się komunikat „Dzielenie przez zero!” i trójkąt, miast czerwonego lub niebieskiego wyszedł biały:
Dziura w spadochronie - rzecz wielce niebezpieczna! Zajęło mi z dziesięć minut wyczajenie który to ze 168 trójkątów ma zahamowania natury psychologicznej (niemożność wyobrażenia sobie nieskończoności) i dlaczego, potem odpowiednie uzupełnienie kodu.
Matematyce, filozofii, a także nieskończoności mam zamiar poświęcić następnych kilka notek.
