Niechaj się stanie światłość!

"Fiat lux!" Et facta est lux.”

«Fiat lux — Niech się stanie światłość!» (Rdz 1, 3), a dokładniej:

• Wtedy Bóg rzekł: Niechaj się stanie światłość! I stała się światłość.

• Bóg widząc, że światłość jest dobra, oddzielił ją od ciemności.

• I nazwał Bóg światłość dniem, a ciemność nazwał nocą. I tak upłynął wieczór i poranek - dzień pierwszy.

W Księdze Mądrości 7, 24-30 czytamy zaś:

• Mądrość bowiem jest ruchliwsza od wszelkiego ruchu i przez wszystko przechodzi, i przenika dzięki swej czystości.

• Jest bowiem tchnieniem mocy Bożej i przeczystym wypływem chwały Wszechmocnego, dlatego nic skażonego do niej nie przylgnie.

• Jest odblaskiem wieczystej światłości, zwierciadłem bez skazy działania Boga, obrazem Jego dobroci.

• Jedna jest, a wszystko może, pozostając sobą, wszystko odnawia, a przez pokolenia zstępując w dusze święte, wzbudza przyjaciół Bożych i proroków.

• Bóg bowiem miłuje tylko tego, kto przebywa z Mądrością.

• Bo ona piękniejsza niż słońce i wszelki gwiazdozbiór. Porównana ze światłością - uzyska pierwszeństwo,

• po tamtej bowiem nastaje noc, a Mądrości zło nie przemoże.

A jak to wygląda od strony matematycznej? Nie mam tu zamiaru wchodzić w szczegóły (choć przygotowuję mały pół-popularny artykulik na ten temat), pokażę po prostu parę obrazków, które wczoraj przygotowałem. Powiem tylko, że przygotowanie takiego obrazka nie jest proste, bo trzeba się najpierw sporo narachować, potem zmusić komputer do przedstawienia wyników tych rachunków. Trzeba też do tego mieć najpierw inspirację, bo ani w książkach (no, w znanych mi książkach), ani w Wikipedii tego nie ma.

Liczby zespolone to liczby postaci x+yi, gdzie i jest pierwiastkiem kwadratowym z -1, zaś x,y to liczby rzeczywiste. W szczególności możemy wziąć liczby zespolone postaci m+ni, gdzie m i n to liczby całkowite. Te nazywają się „liczbami całkowitymi Gaussa” (Gauss integers). Wziąłem więc liczby całkowite Gaussa, te z n nieujemnym, zatem w górnej półpłaszczyźnie i podziałem na nie transformacją Cayleya. Otrzymałem w ten sposób punkty wewnątrz jednostkowego okręgu – na dysku Poincarego. Tak to wygląda:

Gdy sobie na to popatrzyłem, pomyślałem „Fiat lux!”. Wziąłem liczby całkowite m od -100 do 100, oraz n od 0 do 100. To właśnie te liczby z m,n dużymi zagęszczają się wokół punktu po prawej, punktu reprezentujacego nieskończoność. Czym bliżej nieskończoności, tym więcej światła.

Ale to nie wszystko. Bowiem te świetlne punkty, zanim się usadowiły na dobre we wnętrzu dysku, przebyły pewną drogę. Końcowe fragmenty drogi 55 z tych świetlnych punktów pokazuję na tym obrazku:

I wreszcie, animacja, wolniejsza niz przedtem transformacji Cayleya. Dokonuję tu transformacji na siatce współrzędnych. Siatka w górnej półpłaszczyźnie, ta, co się zwija w dysk, jest koloru szarego. Siatka współrzędnych z dolnej półpłaszczyzny, ta co się zwija w zewnętrze dysku, koloru czerwonego:

Ponieważ pole obrazka to x,y od -10 do 10, zatem sam dysk, znajdujacy się w centralnym kwadracie -1,1 jest malutki. Ale to on jest właśnie interesujący. Ziemia jest też malutka w wielkim kosmosie, nieprawdaż?