Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk
429
BLOG

Skoro o duchach mowa

Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk Kultura Obserwuj notkę 4

Widzę, że w salonie nawet matematycy zainteresowali się duchami. Postanowiłem więc wywołać ducha, ducha matematyka i astronoma, Arhura Cayley'a (1821-1895). Biorąc pod uwagę moją wiedzę i moje doświadczenie nie było to nawet specjalnie trudne. Duch zgłosił się prawie natychmiast i zgodził się nam coś zademonstrować.

Jak to zwykle z duchami bywa, jedni skorzystają z tego spotkania z duchem wiecej, inni mniej, jeszcze inni po prostu stracą cenny czas i nawet się nie rozerwą. Choć może niepotrzebnie krakam. 

Nie jestem zresztą pierwszym który wszedł w duchowy kontakt z Arthurem Cayleyem. W przedmowie do swojej książki „Discriminants, Resultants, and Multidimensional Determinants”, Birkhäuser, 1994, matematycy rosyjscy I.M. Gelfand, M.M. Kapranov, A.V. Zelevinsky, piszą tak:  

Co wiecej, w trakcie pisania tej książki odkryliśmy piękną dziedzinę, która została nieomal zapomniana tak, że o naszej pracy można myśleć jako o kontynuacji klasycznego rozwoju algebry w XIX wieku.  

Odkryliśmy, że Cayley a także inni matematycy tego okresu rozumieli wiele pojęć o których dziś się myśli jako o nowoczesnych. I tak w swojej nocie z roku 1848 dotyczacej rezultantu, Cayley, w rzeczy samej, stworzył podwaliny współczesnej algebry homologicznej. Cieszy nas, że wchodzimy w duchowy kontakt z tym wielkim matematykiem.”  

Aby nawiązać skuteczny kontakt, czy to ze światem materialnym, czy to duchowym, potrzebna jest odpowiednia antena. I tutaj matematyka Cayleya okazuje się jak znalazł. W pracy z r. 2001 p.t. „Cayley Differential Unitary Space-Time Codes” Babak Hassibiz Caltechu i Bertrand M. Hochwald z Bell Laboratories pokazują, że tzw. Kody Cayleyapozwalają na budowę odbiorników, które mogą dekodować sygnały nawet wtedy, gdy częstośc kanału nadajnika ulega szybkim zmianom. Dla komunikacji z duchami (także ze szpiegami) – jak znalazł. Odkrycie to opiera się na tzw. „transformacie Cayleya” . W polskiej Wikipedii nic na ten temat nie mogłem znaleźć. Angielska Wikipedia ma dość obszerną informację :

 

....

[Image]


 

nawet obrazek:

 

Transformata Cayleya

 

Tyle, że obrazek się nie rusza, więc co to za duch? 

Postanowiłem zatem obrazek ożywić i w ten sposów przywołać ducha Arthura Cayleya. Czy mi się udało? Myślę, że po części. Zobaczcie sami i oceńcie. 

Transformata Cayleya odwzorowuje nieliniowo, wzajemnie jednoznacznie, górną półpłaszczyznę, zbiór liczb zespolonych z = x + yi o dodatniej części urojonej (y większe od zera) na zbiór punktów wewnątrz okregu |z|2 = x2 + y2 =1, zatem na dysk Poincarégo. Przy użyciu liczb zespolonych wzór na transformatę Cayleya zapisuje się szczególnie prosto:

 

W(z) = (z – i)/(z + i),

 

gdzie i jest pierwistkiem kwadratowym z minus jedynki. Transformacja jest nieliniowa (byłaby liniowa, gdyby nie było mianownika), ale nie jest „aż tak” nieliniowa. Nazywa się to transformacją ułamkowo liniową. A oto transformacja Cayleya dynamicznie, zatem w ruchu, ożywiona:

 

Animowana transformata Cayleya

 

Nie jest to szczyt moich możliwości, mógłbym się przyłożyć i zrobić to lepiej. Mógłbym to zrobić płynniej, albo zrobić we flashu transformację kontrolowaną przesuwakiem. Może nawet to zrobię. W animacji powyższej nie biorę oczywiście całej górnej półpłaszczyzny, tylko jej kawałek, mieszczący się w polu widzenia mojej kamery, stąd dysk nie wypełnia się całkowicie. W dodatku robię dynamicznie zoom na transformowany obszar, kamera zatem się przesuwa. Powstaje wrażenie, że to układ współrzędnych się przesuwa. 

Zauważmy, że oś rzeczywista, y = 0, transformuje się w brzeg dysku. Można też sobie bez trudu wyobrazić, że dolna półpłaszczyzna, y ujemne, transformuje się na zewnętrze dysku. W mojej terminologii zatem materia to y dodatnie, duch, to y ujemne, zaś życie ma miejsce w pobliżu osi rzeczywistej y = 0. 

W istocie prosta rzeczywista nie transformuje się, ściśle mówiąc na cały brzeg okręgu. Zostaje jeden punkt x = 1. On nigdy nie zostanie osiagnięty – ten punkt to właśnie obraz nieskończoności. Normalnie myślimy o nieskończoności jako o czymś nieosiągalnym. Po transformacji Cayleya staję się czymś osiągalnym – ot, punkt (x = 1, y = 0) taki jak inne punkty, ani lepszy ani gorszy.

 Na koniec dzisiejszej noty: Liryka dla Ducha (w wykonaniu Krisa Kristoffersona):

Help me make it through the night

Take the ribbon from your hair, Shake it loose and let it fall,
Lay it soft against my skin. Like the shadows on the wall.

Come and lay down by my side till the early morning light
All I'm takin' is your time. Help me make it through the night.

I don't care what's right or wrong, I won't try to understand.
Let the devil take tomorrow Cause tonight I need a friend.

Yesterday is dead and gone and tomorrow's out of sight
And it's sad to be alone. Help me make it through the night.


I don't care what's right or wrong,I won't try to understand.
Let the devil take tomorrow for tonight I need a friend.


Yesterday is dead and gone and tomorrow's out of sight
And it's sad to be alone. Help me make it through the night.

I don't wanna be alone. Help me make it through the night.

 

Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki. Katalog SEO Katalog Stron map counter Życie jest religią. Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem. Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone. Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić. Dla tych ludzi świat zgaśnie. Staną się dokładnie tym co dali życiu. Staną się jedynie snem w "przeszłości". Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości" Lista wszystkich wpisów  

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Kultura