Gdy prosta jest krzywą

Notka dzisiejsza jest kontynuacją „I narysował Bóg okrąg” oraz „Odwracanie kota ogonem”. Zajmujemy się wnętrzem okręgu – tam jest zawarty „świat”, który mamy zbadać. Swiat ten ma dziwne prawa i te prawa chcemy poznać, zaprzyjaźnić się z nimi, zrozumieć, choć okażą się zupełnie inne inne od praw znanych z „naszego” świata, świata mieszkańców brzegu. Nasz umysł okazuje się do tego zdolnym, a to dzieki zdolności abstrahowania, zdolności której niektórzy nie lubią, przed którą się wzdragają. Przypomnę obrazek z „I narysował Bóg okrąg”:

W naszym uproszczonym „świecie materii” jest też geometria, tyle, że różna od naszej. Nie wszystko, co różne od nas jest nam wrogie. Ot, po prostu inne, a inności nie powinnismy tępić o ile ona nas nie tępi.

Geometria wnętrza dysku to punkty, proste, okręgi, trójkąty itd. Punkty okażą się takimi samymi jak „nasze” punkty. Proste okażą się nam nie takie znów proste, okręgi będą jakby miały środki nie tam gdzie trzeba, trójkąty będą miały dziwne dla nas sumy kątów – wbrew nauce ze szkoły. Postulat Euklidesa o prostych równoległych, tak dla nas oczywisty, nie będzie tam spełniony. Ale, okaże się, nie jest to katastrofą, świat się od tego nie zawali.

Świat nie zawali się gdy pozbędziemy się wielu naszych irracjonalnych uprzedzeń. Nie ma obawy.

Dziś będzie o „prostych”. Jako, że proste te okażą się, jak wspomniałem, nie takie znów proste, lepiej wybrać inną nazwę. W geometrii nazywa się je „liniami geodezyjnymi” - są to najkrótsze drogi łączące parę punktów. Najkrótsze – w danej geometrii. A co to jest geometria? Jest kilka definicji. Do tego dojdziemy.

Dobrze jest nadać nazwę naszemu dyskowi. Przyjęło się go nazywać dyskiem Poincarégo. Jest to jeden z modeli dwuwymiarowej geometrii hiperbolicznej, geometrii Bolyai-Łobaczewskiego. Geometria a'la Euklides, to zbiór postulatów, typu: przez każde dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta itd. Postulaty postulatami, ale chciałoby się wiedzieć, czy dany zespół postulatów nie jest logicznie sprzeczny, co nie zawsze łatwo zobaczyć wpatrując się w same postulaty, choćby nie wiem jak długo. Dlatego dobrze mieć choć jeden przykład konstrukcji spełniającej nasze postulaty. Dlatego budujemy modele. My zaczniemy od modelu i na modelach poprzestaniemy. Nie mam bowiem zamiaru zajmować się na serio postulatami geometrii – wspomnę o nich tylko mimochodem, tu i ówdzie.

W geometrii naszego dysku punkty są punktami. Czym są tam „proste”? Proste w geometrii świata dysku są łukami „naszych” okręgów, ale nie byle jakimi łukami, łukami prostopadłymi do brzegu dysku. Najlepiej zobaczyć to na obrazku:

Widać geodezyjną łączącą punkty A i B. Przecina brzeg okręgu w punktach P i Q. Punkty P i Q do dysku już nie należą. Należą do brzegu dysku – to inny świat. Czasem nazywa się punkty z brzegu „punktami idealnymi”. P i Q to punkty idealne. A i B to punkty „zwykłe”.

Widać też geodezyjną łączącą punkty A' i B'. Ta okazuje się być „prosta” także w naszym rozumieniu, w „naszej geometrii”. Ale to są wyjątki. Tak zdarza się tylko wtedy gdy punkty A' i B' leżą na prostej przechodzącej przez środek dysku.

Nasuwa się natychmiast pytanie: jak geodezyjna AB z rysunku może być najkrótszą z krzywych łączących A i B? Przecież widać na oko, że najkrótszą nie jest!

Może się też, dla kogoś rozmyślającego nad naturą ruchu, kogoś podobnego do Galileusza, Kanta czy Newtona, wydać dziwnym, że definicja geodezyjnej na dysku podana wyżej zawiera w sobie warunki nielokalne. Bo nielokalnym, z punktu widzenia poruszającego się punktu materialnego jest żądanie by poruszał się tak, by przeciąć brzeg, który do świata dysku nie należy, pod katem prostym? Jeśli nasz punkt materialny zmierza od A do B, to „skąd może wiedzieć jak ma zmierzać” tak, by przeciął brzeg pod kątem prostym, a przecież pierwsze prawo mechaniki Newtona mówi, że „kiedy nie działają żadne siły, cząstka porusza się ruchem jednostajnym po prostej”.