Napisał tichy we wczorajszym komentarzu:
„definicja "weird" to to, że GM się w te rewiry zaplątał.
Zajrzałem do słownika Kościuszkowskiego, a tam: „weird” to niesamowity, dziwaczny, cudaczny. Otóż mam właśnie niesamowitą przygodę z kwantowymi fraktalami. No, z „poza-kwantowymi”. Trochę trudno wyjaśnić przygodę matematyczną w sposób popularny, ale się postaram. Jeśli nie wyjaśnię o co idzie Czytelnikowi, to może wyjaśnię przynajmniej sobie?
Najpierw, czemu „poza-kwantowe”? Bowiem nie mieszczą się w powszechnie używanym formaliźmie mechaniki kwantowej pochodzącym jeszcze od Heisenberga i von Neumanna. Werner Heisenberg bawił się nieskończonymi macierzami – tablicami o nieskończenie wielu wierszach i nieskończenie wielu kolumnach – Excel ich nie pomieści! Wyszła z tego „macierzowa mechanika kwantowa” - całkiem elegancki formalizm. Kiedyś prowadziłem nawet kurs mechaniki kwantowej w oparciu o małą a treściwą książeczkę H. S. Greena pod tym właśnie tytułem. Heisenberg jak wiadomo wychodzi w historii nie całkiem na czysto, wygląda bowiem na to, że pomagał Niemcom w czasie II-giej wojnyświatowej i usiłował szpiegować co robi Bohr w Kopenhadze. Potem pracował dla Amerykanów. John von Neumann również udzielił swego błyskotliwego umysłu amerykańskiej bombie atomowej. W rezultacie mieliśmy Hiroshimę i Nagasaki – niewątpliwą zbrodnię. Ale odchodzę od tematu.
Rzecz w tym, że mechanika kwantowa jest teorią probabilistyczną. Mamy tam do czynienia z „prawdopodobieństwami” tego, że w wyniku pomiaru zajdzie to czy tamto. A jak to zachodzi – o tym cicho-sza. Przez wiele dziesięcioleci o tym się nie mówiło, bo rozmawianie na ten temat nie przystoi dobrze wychowanym panienkom i paniczom. Ostatnio zaczęto o tym trochę mówić, zasługę ma tu między innymi Sir Roger Penrose, który w swoich poczytnych książkach przybliża nam „dwa rodzaje ewolucji kwantowej”: ewolucję ciagłą, deterministyczną, oznaczaną zwykle literką U (od „unitarny”), oraz ewolucję nieciągłą, skokową, o charakterze losowym, oznaczaną literką R (od „redukcja” paczki falowej czy stanu kwantowego).
Mnie osobiście interesuje szczególnie, zresztą od lat, ewolucja R. Nie wiem skąd się bierze, mam tylko podejrzenia, koncentruję się więc, póki co, na matematycznym formaliźmie pozwalającym opisać tę ewolucję lepiej niż li tylko literacko, jak to było u Bohra.
W formaliźmie matematycznym mechaniki kwantowej pojawia się coś takiego jak „wektor stanu” oraz „iloczyn skalarny dwóch wektorów stanu”, matematyk zapisze ten iloczyn skalarny jako (x,y). Wektory stanu są zwykle „unormowane” - mają długość równą 1. A ta długość to nic innego niż pierwiastek kwadratowy z (x,x). Tę jedynkę „1” interpretuje się zwykle w sposób probabilistyczny: to prawdopodobieństwo tego, że jeśli układ w danej chwili jest w stanie x, to w tejże chwili jest w stanie x – oczywiste, nieprawdaż? Prowadzi to do „przestrzeni Hilberta”, bardzo rozwiniętego działu matematyki. Ściślej – analizy funkcjonalnej i teorii operatorów w przestrzeniach Hilberta. Dzisiaj modne jest uogólnienie tego formalizmu zwane „geometrią nieprzemienną”. W tym kierunku zmierza m.in. grupa ks. prof. Michała Hellera. Dalej jednak jesteśmy w obszarze przestrzeni Hilberta, przestrzeni gdzie kwadrat długości wektora ||x||2 = (x,x) jest dodatni.
Od wielu lat wiadomo było jednak, że tu i ówdzie to ubranko okazuje się za ciasne by pomieścić fizykę. Przy kwantowaniu pola elektromagnetycznego czy grawitacji aż się prosi by użyć innych przestrzeni, przestrzeni gdzie „kwadrat wektora” mógłby być ujemny. Na przeszkodzie staje jednak właśnie interpretatcja probabilistyczna. Co miałoby oznaczać ujemne prawdopodobieństwo? Zabrał się za to nie kto inny niż sam Richard Feynman i napisał parę rzeczy o możliwej interpretacji ujemnego prawdopodobieństwa. Ale dalej nie poszedł. Niewiele w literaturze na ten temat można znaleźć.
Natomiast ja, jako, że jestem „weird”, interesuję się, nawet bardzo, takimi dziwactwami. I temu poświęciłem jedną z moich prac dotyczących kwantowych fraktali. Same kwantowe fraktale są „weird”, ale są wciąż niewystarczająco weird. Dlatego zabrałem się za kwantowe fraktale w przestrzeniach w których prawdopodobieństwa (t.j. iloczyn skalarny) nie muszą być dodatnio określone. Pokazałem między innymi, że także w takich przestrzeniach możemy mieć dobrze określony proces losowy skoków kwantowych, z dodatnimi prawdopodobieństwami, jeśli tylko zaczniemy ten proces od wektorów o dodatnim kwadracie normy – nazwijmy te wektory „stanami fizycznymi”. W wyniku skoków kwantowych stany fizyczne będą zawsze przechodzić w stany fizyczne. Ujemne prawdopodobieństwa się nie pojawią!
Przez lata całe (moja praca jest z roku 2003) mnie to zadowalało. Ale ostatnio, gdy zacząłem na moim blogu pisać więcej i dokładniej o kwantowych fraktalach, wróciłem do tego tematu i zacząłem sprawdzać swoje rachunki. Znalazłem parę pomyłek w znakach – włosy mi oczywiście stanęły dęba na głowie, przeraziłem się, że mogłem popełnić fałszywą pracę! Dwa dni temu jednak wreszcie wyszło na jaw, że błędy są po prostu przy pisaniu tekstu, nie w samych rachunkach. Same rachunki okazały się w porządku.
Już mysłałem, że wszystko ze swojej pracy rozumiem, kiedy to wczoraj stwierdziłem, że nie rozumiem niczego! Bo niby z jednej strony wszystko cacy-cacy, z drugiej jednak strony widziałem wyraźną sprzeczność wyników z tym czego się ostatnio z matematyki fraktali nauczyłem.
Jakby to wyjaśnić? Może zacznę od Eschera, którego grafika jest pewnie dość znana. Popatrzmy na ten obrazek „anioły i diabły”:
Rzecz się dzieje na dysku. Matematycy nazywają go „dyskiem Poincarego” a grafika Eschera bierze tu swe natchnienie ze specyficznej geometrii tego dysku. Dysk Poincarego jest bowiem jednym z modeli geometrii nieeuklidesowej. Widać na obrazku, że w miarę jak dochodzimy do brzegu dysku diabły stają się diabełkami, anioły stają się aniołkami, wszystko się zagęszcza, zagęszcza wręcz nieskończenie tak, że Escher urwał swoje malowanie w pewnej odległości od brzegu.
A jaki jest związek aniołów i diabłow Eschera z moją pracą? Otóż w najprostszym modelu zbiór tego co nazywamy „stanami fizycznymi” można utożsamić z punktami dysku Poincarego. Cała fizyka odbywa się zatem wewnątrz dysku – to zmaganie aniołów z diabłami. Moje kwantowe fraktale to transformacje dysku w siebie. Mogą transformować np. diabła w anioła lub anioła w diabła, czemu nie? Wiemy z Ksiąg, że takie rzeczy się zdarzały, anioły bywały strącane!
Dwa dni temu zauważyłem jednak, że moje transformacje nie należą do „grupy automorfizmów dysku”. Ta grupa, oznaczana symbolicznie przez SO(2,1), jest dobrze znana fizykom, jest bowiem taka sama jak grupa Lorentza w czasoprzestrzeni o dwóch wymiarach przestrzennych i jednym wymiarze czasowym – taka zubożona o jeden wymiar przestrzenny szczególna teoria względności Minkowskiego, Poincarego i Einsteina.
Skoro zatem moje transformacje, te generujace poza-kwantowe fraktale, nie są automorfizmami dysku a jednak transformują dysk w siebie – to czym są? By to zrozumieć musiałem wyjść poza dysk. Escher nie ineteresował się tym, co jest poza dyskiem. Poza dyskiem jest „tło” - biała przestrzeń. Ale czy aby na pewno? Poza dyskiem są „stany nie-fizyczne”. Jakie zatem? Może psychiczne? Jak go zwał tak go zwał, niemniej moje transformacje, choć transformują dysk w siebie, to transformują stany z poza dysku w stany wewnątrz dysku. A transformacje odwrotne mogą transformować stany z dysku w stany z poza dysku. Czyli, w tej poza-kwantowej teorii, możliwa jest transformacja stanów psychicznych w stany fizyczne. Z dodatniością prawdopodobieństw jest wszystko w porządku, bowiem w procesie losowym mamy do czynienia z tzw. pół-grupą, nie bierzemy transformacji odwrotnych, transformacje po prostu składamy jedna z drugą.
No to mi się wyjasniło. I o tym właśnie zamierzałem dziś napisać jako o czymś weird – niesamowitym.
