Paradoksalna teoria względności

Teoria względności to teoria paradoksalna. Tak przynajmniej wielu sądzi. Na forum matematyka.pl forumowicz czaha pyta:. „Jak to jest, że prędkość światła względem jakiegoś obserwatora jest stała, niezależnie od ruchu tego obserwatora? Bardzo mnie to ciekawi. Pozdrawiam.”. Na co forumowicz krych07 odpowiada: „Wydaje mi sie ze tutaj znaczenie mają efekty relatywistyczne.” Dalej toczy się dyskusja, aż dochodzi do:

MakCis: „Nie jest to aż takie zagmatwane w porównaniu z innymi działami fizyki, sama relatywistyka to po prostu krótki dział, i całkiem prosty „

czaha: No właśnie; Patrzyłem w wikipedii co piszą i jest bardzo dużo, trochę trudnym językiem, ale powoli to obczaję. Pozdrawiam.

MakCis: Wikipedia ma to do siebie, że czasami może odstraszyć człowieka. Dobrze poszperaj i znajdziesz materiały o wiele przystępniej napisane, np:

http://www.fuw.edu.pl/~dragan/Fizyka/Nstw.pdf
www.mif.pg.gda.pl/kfze/wyklady/WM2rozdzial8.pdf

a tutaj są zadania:
http://www.mif.pg.gda.pl/zz/STW.pdf
niby studenckie, ale z niektórymi na pewno dasz sobie radę

Zachęcony zajrzałem pod pierwszy link, do skryptu mgra Andrzeja Dragana „Niezwykle szczególna teoria względności":

 

 

„Skrypt, który powstał z myślą o studentach chcących lepiej zrozumieć teorię względności oraz jej związek z mechanika kwantową. Formalizm matematyczny został w nim ograniczony do absolutnego minimum, dzięki czemu jest to rownież dobra lektura dla osób stykających się z relatywistyką po raz pierwszy.

Najnowsza aktualizacja: listopad 2007.”

Spodobał mi się. Zachęcam zainteresowanych do poczytania. Spodobał mi się bardziej niż ten drugi, bo wchodzi głębiej w istotę rzeczy. Popatrzmy na spis treści:

Spis treści

1 TRZĘSIENIE ZIEMI

1.1 TRANSFORMACJA LORENTZA a’la MINKOWSKI 1

1.2 CZASOPRZESTRZE´N!

1.3 TRANSFORMACJA LORENTZA JAKO OBRÓT HIPERBOLICZNY

1.4 NIC NIE MOŻE PORUSZAĆ SIĘ SZYBCIEJ OD ŚWIATŁA?

1.4.1 DYLEMAT ZWROTNICZEGO I RELATYWISTYCZNA DEFINICJA RUCHU .

1.4.2 BAJKA O STU KRASNOLUDKACH

1.4.3 LATARNIA MORSKA

1.5 PARADOKSY PRZYCZYNOWO-SKUTKOWE

1.6 INTERWAŁ CZASOPRZESTRZENNY

Pytania

2 KINEMATYKA RELATYWISTYCZNA

2.1 WIELOZNACZNA JEDNOCZESNOŚĆ

2.2 DYLATACJA CZASU

2.3 SKRÓCENIE LORENTZA

2.4 PARADOKS POCIĄGU I DWORCA

2.5 CZY SKRÓCENIE LORENTZA JEST RZECZYWISTE?

2.6 ELEKTRYZUJĄCY PARADOKS ELEKTRYCZNY

2.7 PARADOKS BLIŹNIĄT

2.8 PARADOKS ROBERTA KORZENIOWSKIEGO

2.9 RELATYWISTYCZNE TRANSFORMACJE PRĘDKOŚCI

Pytania

Zadania

3 NIESZTYWNA BRYŁA SZTYWNA

3.1 MACHANIE DŁUGIM KIJEM

3.2 PARADOKS TYCZKARZA I STODOŁY

3.3 PARADOKS DWÓCH KWADRATÓW

3.4 PARADOKS KLOCKA I DZIURY W STOLE2

......

Czym dalej zresztą – tym ciekawiej! W rzodziale 5 pojawia się dyskusja światła: „Relatywistyczny efekt Doplera” i „Efekt 'unoszenia' światła w poruszającym się ośrodku”. Światło nas interesuje – jako, że to klucz do wszystkiego innego. I temu chcę poświęcić dzisiejszą notkę. A jaki to ma związek z moimi poprzednimi notami? Cierpliwości!

Interesuje nas szczególnie formuła na relatywistyczne dodawanie prędkości – formuła pojawiająca się na samym końcu rozdziału drugiego skryptu, po obrazku Baby Jagi przelatującej nad meksykańską falą krasnoludków

Formuła (39) wygląda w całej swojej okazałości tak:

Dragan interpretuje tę formułę jako zmianę obserwowanej prędkości v obiektu, gdy przechodzimy od „nieprimowanego” układu odniesienia do układu „primowanego”, poruszajacego sie względem tego pierwszego z prędkością V. Chodzi o zmianę zarówno wielkości jak i kierunku, dlatego v i V są pogrubione – to wektory.

Na formule tej dokonamy teraz kilku zabiegów. Interesuje nas bowiem następujacy problem:

przypuśćmy, że spoczywająca względem nas żarówka wysyła światło równomiernie we wszystkich kierunkach. Czy i jak się ta obserwowana równomierność zmieni, jeśli żarówkę ustawimy na rakiecie poruszającej się względem nas z prędkością u?

Zwykle mówi się nam, że „prędkość światła jest stała, równa c (około 300 tysięcy kilometrów na sekundę) i nie zależy od prędkości źródła.” Czy jest to jednak cała prawda? Prędkość, mierzona w kilometrach na sekundę jest stała, ale kierunek? Ten może się przecież zmienić.

I w istocie się zmienia. Wystarczy użyć powyższej formuły. Ponieważ jednak interesuje nas poruszające się źródło a nie poruszający się inny obserwator, musimy trochę pogłowkować. Nasze rozumowanie może np. wyglądać tak: z poruszającym się źródłem możemy związać układ odniesienia (a w nim obserwatora) w którym to źródło będzie spoczywać. W tym układzie odniesienia wektor prędkości światła to v. Względem tego układu, związanego ze źródłem, nasz układ porusza się z prędkością u = -V. Nie jest to bynajmniej tak całkiem oczywiste, niemniej tak jest. Wystarczy więc w formule Dragana zamienić V na -u i będziemy mieć formułę prawie gotową do zastosowania w naszym przypadku. Oto ona:

W formule tej występują wielkości mianowane, występuje też stała c. Aby lepiej matematyczny sens tej formuły zrozumieć warto, jak to sie często robi, wprowadzić wielkości bezwymiarowe. Wprowadźmy więc znaną z róznych wersji transformacji Lorentza wielkość

β = u/c

mierzącą stosunek szybkości naszego źródła do szybkości światła. Beta zawarte jest pomiędzy 0 a 1. Np. beta = 0.999 mówi nam o tym, że źródło porusza się prawie że z prędkością światła. Dalej, oznaczmy przez x kierunek wektora v, zaś przez x' kierunek wektora v'. Ponieważ długości, v i v', wektorów v jak i v' są równe c, zatem tylko kierunek się zmienia. We wzorach:

x = v/c

x' = v'/c

Wprowadźmy też bezwymiarowy kierunek wektora u, oznaczmy go przez n:

n = u/u

Informacja o samej wartości wektora u zawarta jest wszak już w beta. Wektor n jest teraz wektorem jednostkowym, ma długość równą 1.

Podstawiając to wszystko do naszego równania, po prostych przekształceniach otrzymamy:

Formuła jakby bardziej przejrzysta, choć nie z tych najprzejrzystych. Do domu jednak już mamy niedaleko. Nasza formuła wygląda już lepiej, ale bruździ ten pierwiastek kwadratowy. Niby znany z teorii względności, ale czy aby na pewno nie można się bez niego obejść? Jakoś się go pozbyć? Na przykład jakimś sprytnym podstawieniem? Ano można, w rzeczy samej. Oczywiście żaden rasowy relatywista by na to nie wpadł, bo po co, ale np. matematyka nie interesuje „po co?” Matematyka interesuje „czy można?!” A można to zrobić tak: zamiast greckiej bety wprowadźmy bardziej polsko wygladające k, wyrażające się przez beta formułą:

Na odwrót, betę można wyrazić przez k:

Gdy beta zmienia się od zera do jeden, także k zmienia się od zera do jeden. Zalezność bety od k można zobaczyć na wykresie:

W wyniku podstawienia i uporządkowania nasza formuła na relatywistyczne dodawanie prędkości przybierze taką postać:

Pierwiastka juz nie ma. Czy coś przez to jednak zyskaliśmy? Na pozór wydaje się, że nie. A jednak ....

Uważny i gorliwy Czytelnik (np. KAP) może sobie przypomni, że tę formułę już kiedyś widział. Kiedy? Gdy puszczaliśmy bąki. Mowa wtedy była o kwantowym spinie i o jego obserwacji. A dziś mowa o klasycznej teorii względności i o zmianach kierunku światła wypromieniowywanego przez poruszające się źródło. Czary jakieś? Formuła toczka w toczkę ta sama. W dodatku we wczorajszej nocie o czekającym nas wynalazku telegrafu wspomniałem artykuł w New Scientist, gdzie opisywane jest jakie to kłopoty mają uczeni ze spinem, kiedy chcą ujarzmić światło. Ten spin jakoś im skacze i nie wiadomo gdzie był przed skokiem, bo sladów po sobie nie chce zostawić. A wojsko się tymczasem niecierpliwi, bo przecież to głównie wojsko i służby specjalne płacą na badania „lepszych systemów szyfrowania” - o co przede wszystkim w tych „naukowych badaniach” chodzi.

W kolejnej nocie, wzmocnieni świadomością, że nasza nowa formuła skoków kwantowych spinu jest jedynie przebraniem w inny strój starej formuły pochodzącej niemal że od samego Aleberta E, przyjrzymy się lepiej temu jak nasz magnes-detektor-obserwator zmienia rozkład prawdopodobieństw kierunków osi naszego bąka. Nasze rozważania będą przy tym miały szersze zastosowanie. Stosować się bowiem będą też do poruszających się szybko źródeł światła i nawet do ruchomych wyrzutni elektrin.

 

cdn.

P.S. 18 grudnia, 16:58 Jako, że wojowałem sporo z krnabrnymi wzorami, czytelnkom którzy trafili na pierwsze wersje tej noty zalecam przeładowanie w przegladarce, bowiem złe wzory (pomieszane) zastąpiłem dobrymi.