Puszczamy bąka

Jak taki spin opisać? Jak go sobie wyobrazić? Poczatkowo wyobrażano sobie elektron wirujacy wokół osi. Obliczenia wykazały, że elektron musiałby wtedy wirować szybciej niz swiatło. Fizycy, bojaźliwi i ulegający sile autorytetów, szybko więc taki obraz wirującego elektronu wpisali na czarna listę – tak nie wolno! Watykan Fizyki wydał encyklikę potępiającą obrazy i rzeźby wirującego elektronu. Na poparcie przytoczono fakt, że moment magnetyczny elektronu mierzony w doświadczeniu nie odpowiada prymitywnemu obrazowi wirującej kulki. Zatem wierni nie zadają więcej pytań.

Nam to nie będzie przeszkadzało. Będziemy sobie wyobrażać wirujące coś. Jakiegoś bąka. Jakiś wir. Może taki:

 

 

 

może jakiś taki, okultystyczny:

 

 

(Wzięte z „Alchemy and Mysticism. The Hermetic Museum”)

Dobrze jest mieć przy tym na uwadze wizję Eshera, który wiry przedstawiał parami:

 

 

Dla naszych celów wystarczy jednak taki obrazek:

Spin to nie tylko wir, to wir przejawiający własności magnetyczne. Po jednej stronie osi mamy biegun magnetyczny północny (N), pod drugiej południowy (S). Sam bąk jest przy tym niewidoczny, odczuwane są jedynie jego własności magnetyczne. Może go tam zresztą w ogóle nie ma? Kto wie ....Założmy jednak, że jest, że wiruje, że ma oś i bieguny związane z końcami osi. A gdy nas przygwożdżą argumentami, że to niemożliwe, wtedy, ale dopiero wtedy, biorąc przykład z teologów osłabimy nieco nasze założenia.

Matematycznie stan spinu przedstawiamy jako wektor w dwuwymiarowej przestrzeni zespolonej, zatem jako parę liczb zespolonych (z,w), przy czym zwykle normujemy ten wektor tak by jego długość była równa jedności, zatem |z|²+|w|² =1. Jest to przy tym nieco zbyt wiele, bowiem, jak uczy mechanika kwantowa, faza tego wektora jest nieobserwowalna. W sumie wychodzi na to, że jesli cokolwiek jest obserwowalne, to tylko kierunek spinu. W „Drodze do Rzeczywistości”, Rozdz. 22.9, Roger Penrose maluje „sferę Blocha”:

 

 

 

Sfera jest przydatna, tyle, że nam będzie potrzebna jedynie zwykła sfera z kierunkami Północ, Południe, Wschód, Zachód i wszystkim tym co pomiędzy. Punkt na sferze przedstawia kierunek osi bąka-spinu. Konkretniej: kierunek jej północnego końca. Jako, że moim najbliższym celem jest opisanie najprostszego kwantowego fraktala, sfera to dla nas i tak za dużo. Malowanie fraktala na sferze to wyższa szkoła jazdy – KAP może coś o tym powiedzieć. Ograniczymy się więc do okręgu – przecięcia sfery z płaszczyzną z=0. Jeśli ktoś chce to powiązać z książkową mechaniką kwantową – proszę bardzo: ograniczamy się do wektorów postaci (z,z). Scharakteryzowane są one tym, że średnia wartość zetowej składowej sinu w tych stanach wynosi zero. Ale to tylko uwaga dla „ekspertów”.

I tak nasz spin-bąk zamienił się w igłę kompasu. Może się skierować na wschód lab na zachód, lub na północny wschód – zależnie od tego co „ja przyciągnie”. Pamiętajmy jednak, że sama igła jest niewidoczna. Widziane przez nas są jedynie detektory spinu. Taki detektor może jakoś kierunek tego spinu zmienić – spowodować „skok kwantowy” i sam ten skok odczuć. W najprostszym modelu, najmniej sprzeciwiającym się przykazaniom katechizmu mechaniki kwantowej detektor jedynie czuje, że „spin się odezwał”. Nie czuje natomiast natomiast „siły tej reakcji spinu”. Nie wie o ile się zmienił spin. Jest to reakcja typu „nic lub wszystko”. Zero lub jeden. Tak jak licznik Geigera-Millera albo kliknie albo nie kliknie. Albo zarejestrował przejście cząstki z rozpadu radioaktywnego, albo nie zarejestrował. W szczegóły „kliknięcia” nie wchodzimy. W naszym modelu detektora spinu nie będzie nas też interesowało w której chwili detektor zadziałał. Jedynie to czy zadziałał. Trzeba to sobie wyobrazić jakoś tak:

Detektor to ten czarny prostokątny magnes. A jak ten detektor działa? Ano przyciąga. Powoduje skok kierunku pólnocnego końca spinu-bąka, zawsze ku sobie. A jak daleko spin skacze? Czy można to opisać jakimś wzorem matematycznym? I owszem – ja proponuję prosty wzór, wzór w którym występuje jedynie jeden parametr: moc magnesu-detektora. Będę ten parametr oznaczał literką k. Wartośc tego parametru zmienia się pomiędzy zerem a jedynką. K=0 to detektor zerowej mocy. K=1 to detektor mocy maksymalnej. Ktoś może zapytać czemu k=1 to moc maksymalna. Czemu nie k równe nieskończoności? Otóż odpowiedź jest prosta: można sobie wyobrazić, że k jest tangensem hiperbolicznym z „mocy prawdziwej”. A wykres tangensa hiperbolicznego wyglada tak:

Jego wartości są właśnie pomiędzy zerem a jedynką.

Przejdźmy zatem do wzoru na działanie detektora. Mamy tu dwie opcje do wyboru: jako, że nasz spin opisywany jest na okręgu, możemy uzywać albo dwóch współrzędnych kartezjańskich (x,y), przy czym x²+y² = 1, albo też kąta phi, tak że x = cos(phi), y = sin(phi). Zacznę od tej pierwszej możliwości. Następnie zaś przejdę do tej drugiej, prostszej, którą następnie zilustruję. W zapisie wektorowym, oznaczając przez n położenie detektora, zaś przez x położenie niwidzialnego spinu (przy tym n²=x²=1), spin przeskakuje z położnia x w nowe położenie w(x) zgodnie z formułą:

w(x) = licznik/mianownik

gdzie

licznik = (1- k²)x + 2k(1+k(n.x))n

mianownik = 1+k²+2k(n.x)

Tutaj n.x to iloczyn skalarny kierunków x i n. Mianownik jest wektorem, licznik jest skalarem.

Skąd wziąłem tą formułę? Wyciągnąłem z kapelusza jak magik wyciąga królika. Ktoś ma lepszą? Proszę bardzo. A tak bardziej serio, wziąłem ją z moich prac: np. formuła (1.1) z „Quantum Fractals. Geometric modeling of quantum jumps with conformal maps”. Trzeba tylko podstawić kn = q (Zamiast k czasem piszę alpha, czasem epsilon, jakos mi się jeszcze nie ustaliła pisownia). Sir Roger Penrose, choć o skokach kwantowych i ewolucji typu R wiele pisze, to jednak żadnego konkretnego wzoru nie śmie podać. Podając mój wzór ryzykuję więc głową, ale niech tam .... Czy moją formułę można sprawdzić doświadczalnie? Tego nie wiem, choć wydaje mi się, że kiedyś, może nawet niedługo, takie sprawdzenie będzie możliwe. A może też ktoś tą formułę odkrył już dawnio, tyle, że ja o tym nie wiem? Przyszłośc pokaże.

A teraz uprośćmy formułę tak, by stała się bardziej czytelna. Umieśćmy detektor w punkcie x=1,y=0. Wtedy n.x to prostu cos(phi), gdzie phi jest kątem na okręgu charakteryzujacym położenie spinu. W wyniku „przyciągania” detektora spin skacze z kąta phi do nowego kąta w(phi) danego jednym wzorem:

w(phi) = arctan(licznik/mianownik)

gdzie

licznik = (1-k²) sin(phi)

mianownik = (1+k²) cos(phi) + 2k(1+k cos(phi))

Programista zrobi lepiej, jeśli użyje zamiast funkcji arctan funkcji atan2(licznik, mianownik) lub atan2(mianownik,licznik) – zależnie od implementacji tej funkcji (jest w C, jest w Excelu...). Chodzi o argument (kąt phi) wektora w(x).

Nie wygląda to prościej, bo pojawiły się funkcje trygonometryczne. Ale kto by się bał funkcji trygonometrycznych! Mamy teraz za to tylko jedną zmienną – kąt. I zmianę tego kąta przy skoku możemy spróbowac sobie wyobrazić. Będzie ona zależała od wartości parametru k – mocy magnesu-detektora. Dla k bliskiego zera (magnes-detektor słaby) punkty prawie że się nie ruszą. Przy k bliskim jedności (moc bardzo duża) – wszystkie zostaną przyciagniete bardzo blisko do magnesu. Wszystkie z wyjątkiem jednego – tego naprzeciw magnesu. Ten się nie ruszy w ogóle, bo nie będzie wiedział czy ruszyć się w prawo czy w lewo.... Tzw. niestabilny punkt równowagi.

Ale o tym i o psychologii kwantowej, która zaczyna działać gdy naszego bąka obserwuje więcej niż jedno oko – następnym razem.

cdn.