Urodził się w roku 1845 a nazywał się Georg Cantor Mógł był zostać muzykiem – został matematykiem. Życie miał niełatwe, bowiem wyprzedził myślą swe czasy. Berliński matematyk Kronecker podkładał mu kłody pod nogi gdzie się tylko dało. W opinii Koneckera matematyka winna się była zajmować tylko tym, co skończone. Cantora ciągnęło nieskończone, więc jego kariera skończyła się na posadce w marnym uniwersytecie w Halle, gdzieś pomiędzy Getyngą a Berlinem. W końcu nie wytrzymał nerwowo ciagłych utarczek z oponentami, zaczął miewać problemy psychiczne. Zniechęcił się do matematyki i pod koniec życia szukła wsparcia, zresztą z dobrym skutkiem, u teologów. W końcu Bóg jest nieskończonością, nieprawdaż?
Georg Cantor ze swą małżonką Vally.
Wprowadził na dobre do matematyki pojęcie mocy zbioru i „liczb kardynalnych” oznaczających nieskończenie wiele rodzajów i hierarchii nieskończoności.
„To, co było przed wami ukryte, może w końcu zostać ujawnione.”
[Cytat z Biblii na początku artykułu Cantora „Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers”]
Nie o nieskończonościach chcę jednak tym razem rozmawiać, choć ich także nie zabraknie. Interesują nas tu fraktale a jednym z najbardziej bodaj znanych i zarazem najprostszych fraktali jest tzw. Zbiór Cantora.
Weźmy odcinek [0,1] – wszystkie liczby rzeczywiste pomiędzy zerem i jedynką, z zerem i jedynka włącznie. Nikt nie wątpi w to, że jest ich niekończnie wiele – tak wiele, że choć można je uporządkować, to nie można ich policzyć.
![Odcinek [0,1]](http://media.sott.net/arkblog/cantor0.gif "Odcinek [0,1]")
Podzielmy ten zbiór na trzy równe części i wywalmy część środkową – tą pomiędzy 1/3 a 2/3. Co zostanie? Zostaną dwa odcinki:
Podzielmy każdy z nich na trzy równe częsci i wywalmy częsci srodkowe. Co zostanie? Zostaną cztery mniejsze odcinki:
Podzielmy każdy z tych czterech odcinków na trzy równe części ....
I tak dalej.
Łatwo powiedzieć „i tak dalej”. Narysować trudniej:
Jaka jest łączna długość tego co wywaliśmy? No to jest
1/3+2/9+4/27+....
postęp geometryczny. Nietrudno wysumować – wynik jest równy 1:
Wyrzuciliśmy więc łącznie zbiór o długości równej długości całego wyjściowego odcinka. Co zatem zostało? Nie chcę wchodzić w zawiłości matematyczne, powiem więc tylko tyle: Każdą liczbę pomiędzy zerem a jedynką można zapisać w uładzie trójkowym. Np. 1/3 w układzie trójkowym zapisujemy jako 0.13, 2/3 jako 0.23, zaś ¼ to 0.020202020202023. Można łatwo pokazać, że do zbioru Cantora – tego co zostało - należą te liczby, które da się zapisać w układzie trójkowym bez użycia jedynki. Zatem ¼ do zbioru Cantora należy. 2/3 też. A co z 1/3? Otóż tak jak 1 można zapisać w układzie dziesiętnym jako 0.999999....., podobnie 1/3 w układzie trójkowym można zapisać jako 0.0222222....3 Wynika z tego, że choć usunęliśmy z odcinka o długości 1 łacznie odcinki o długości jeden, to zostało całkiem sporo. A dokładnie ile? Weźmy wszystkie liczby ze zbioru kantora zapisane w układzie trójkowym. W każdej z nich zastąpmy 2 przez 1 i czytajmy wynik w układzie dwójkowym. Otrzymamy w ten sposób wszystkie liczby z przedziału [0,1]! Zatem choć wywaliliśmy wszystko, zostało dokładnie tyle samo, co było na poczatku. Czy można się dziwić uniesieniom Cantora i oburzeniu Kroneckera?
Cantor znękany przez Kroneckera w sztuce Johna Barrowa (Piccoteatro, Mediolan) „Nieskończoności”
A oto moje małe dziełko artystyczne na cześć Cantora – mała animacja:
W następnym wpisie zajmiemy się zbiorem Cantora od innej strony – dodamy do niego dynamikę iterowanego układu funkcji. Najpierw standardowo, potem zaś bardziej „kwanto-podobnie.”
