Dlaczego Diraca? Dlatego, że Dirac ją pierwszy wprowadził? Bynajmniej. Znana była bowiem już od dawna (XIX wiek). Znana była matematykom (Poisson, Cauchy), inżynierom. Tylko fizycy – matematyczni nieucy – ją musieli odkryć na nowo. Dirac uzył tej dziwnej „funkcji” (funkcji w sensie uogólnionym, jest to bowiem raczej „gęstość” lub, jak to matematycy nazywają, „dystrybucja”) w roku 1926, gdy pisał o mechanice kwantowej. Fizykom było i tego za mało, zatem tu i ówdzie nazywają ją Deltą Diraca-Infelda-Plebańskiego, bowiem fizycy Infeld i Plebański „odkryli ją” na nowo w latach 50-tych XX-go wieku. Cóż, koło odkrywano wiele razy, podobnie jak gwóźdź. Czytałem gdzieś, że z gwoźdźiem to było tak, że kiladziesiąt lat temu ktoś odkrył, że gwoździa dotąd, o dziwo, nikt nie opatentował, więc spryciarz podał zajawkę w biurze patentowym i patent otrzymał! Nie sprawdzałem wszak wiarygodności tego doniesienia.
A o co chodzi? Genialny inżynier-elektryk Oliver Heaviside wprowadził ją do nauki o elektryczności analizując skokowe w czasie zmiany sygnału i bezceremonialnie różniczkując skokowy sygnał elektryczny – biorąc nawet „pochodne ułamkowe”. Mi zaś chodzi o zastosowania do fraktali, więc nie pójdę droga Heaviside'a. Pójdę drogą od „urzędu miar miar i wag” oraz iterowanych systemów funkcji – o czym pisałem poprzednim razem. Wystaczy nam przy tym – póki co – najprostszy przykład.
Weźmy odcinek od -1 do +1 na osi liczbowej. Nazwijmy go I0. Weźmy przekształcenie T przyporządkowujące każdej liczbie jej połowę: T(x) = x/2. Jedynka przechodzi w ½, minus jedynka przechodzi w -½. Cały odcinek I0= [-1,+1] Przechodzi w odcinek I1=T(I0)=[- ½ ,+ ½ ]. I tak dalej. Będziemy zatem mieć I2=T(I1)=[- 1/4 ,+ 1/4 ], I3=T(I2)=[- 1/8 ,+ 1/8], I4=T(I3)=[- 1/16 ,+ 1/16],...
Kolejne coraz mniejsze odcinki będą się zagęszczać wokół zera. To najprostszy iterowany system funkcji. Mamy jedną tylko funkcję (tzn. transformację) T(x)=x/2 i ja „iterujemy” - tzn. stosujemy raz po raz, bez końca. Jeśli weźmiemy teraz przekrój (tzn. część wspólną) wszystkich In, to będzie on zawierał jedynie zero. To nasz prymitywny „fraktal”. Składa się z jednego punktu. Jest zero-wymiarowy. Tak prymitywny, że go nawet nie można nazwać fraktalem. Niemniej zawsze dobrze zacząć od prymitywu. Nasz jednopunktowy fraktal jest tak prymitywny, że go nawet nie warto przedtstawiać na obrazku.
Fraktale fraktalami a iterowane systemy funkcji to trochę co innego. Fraktal to ot – zbiór, bardziej lub mniej podziurawiony. To twór statyczny. Iterowany system funkcji (IFS), to dynamika. Dynamika jest o wiele bogatsza od statyki. Coś się tam „dzieje”. A to coś zostawia bogatszy ślad niż li tylko końcowy obrazek - „atraktor”, jak to spece od chaosu i fraktali nazywają.
W roku 1985, nakładem wydawnictwa Cambridge University Press ukazała się monografia Andrzeja Lasoty i Michaela C. Mackeya „Probabilistic Properties of Deterministic Systems” (Probabilistyczne własności układów deterministycznych). Matematyk Lasota jest słusznie dumny ze swojego dzieła. Jego powstanie w dużej mierze zawdzięcza, jak sam przyznaje, swojemu współautorowi. W wywiadzie (dostępny w jęz. agnielskim tutaj) mówił: „Matematycy maja skłonnośc do dawania kilku definicji, gdy definiują np ciągłość funkcji, a następnie do dowodzenia dwa razy tyle twierdzeń, by wykazać, że te różne definicje są albo i nie są sobie równoważne. Dla kogoś kto matematykiem nie jest tylko jedna z tych definicji jest istotna, a także to jak tej najlepszej używać w praktyce. Mackey był pod tym względem świetny. Ja byłem motorem, on był kierowcą. Rzecz w tym, by dało się to łatwo czytać a jednocześnie by pisać matematykę a nie pisać historii matematyki.”
Coż, ja piszę w tej chwili o historii matematyki – to błąd. Przechodzę więc do matematyki.
cdn
