Wałkowany trójkąt Sierpińskiego

Wikipedia podaje: „Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka Sierpińskiego) jest jednym z najprostszych fraktali, znanym na długo przed powstaniem tego pojęcia (patrz Benoit Mandelbrot). Konstrukcja tego zbioru była podana przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego w 1915.

Trójkat Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego.”

Są też tam obrazki. Niby wszystko wiadomo. A ja jednak podam po swojemu, prymitywnie, w dodatku posługując się Bejzikiem. Wczoraj oglądaliśmy z Żoną film "Pulse" - z Pink Floydem. Huk, grzmot, fajerwerki – wspaniałe widowisko. Na zakończenie znany przebój z: „We don't need no education...” czyli „Nie potrzeba nam żadnego wykształcenia ...”.

 

 

Faktycznie, pomyślałem sobie. Szkoła powinna przede wszystkim pomagać w samokształceniu. Wszelkie inne funkcje szkoły winny być wtórne. I tak się sam kształcę - we fraktalach. A co się troche wykształcę, to się tym kształtem dzielę.

Tyle denerwującego niektórych czytelników wstępu.

Jest bodaj kilkanaście metod definiowania trójkąta Sierpińskiego. Metoda, której użyję nosi w Wikipedii nazwę „gra w chaos”. Użyję tej właśnie metody, bo jest, moim zdaniem, najbliższa symulacji procesu pomiaru kwantowego. A ku temu zmierzam. Najpierw zatem podam tą metodę, opiszę ją, podzielę się programem, którego używałem do symulacji. W kolejny notach pójdziemy dalej.

Zacznijmy od trójkąta. Tego maksymalnie regularnego, równobocznego, wpisanego w okrąg o promieniu 1, o środku w początku układu współrzędnych.

Uwaga: We wzorach poniżej często będzie pojawiał się pierwiastek z trzech. Dla ułatwienia pisania będę go oznaczał symbolem p3:

p3 = sqrt(3)

Wygląda to jakoś tak:

 

 

Trójkąt ma trzy wierzchołki:

w1, lewy dolny, o współrzędnych (-p3/2,-1/2)

w2, prawy dolny, o współrzędnych (p3/2,-1/2)

w3, środkowy górny, o współrzędnych (0,1)

Odtąd, kiedy będę mówił o trójkącie, trzeba sobie wyobrazić trójkątny placek, ze sprężystego ciasta.

Weźmiemy teraz deseczkę, przystawimy do dolnej krawędzi trójkąta i upchamy cały trójkąt w jego górną połowę Wynik będzie wyglądał jakoś tak:

 

 

 

Cała ta operacja upychania trójkąta w górną jego połowę da się zapisać jako prosta transformacja na współrzędnych:

T1:

x' = x/2

 

y' =y/2 + ½

Zatem zmniejszamy trójkąt dwukrotnie (to dzielenie przez dwa), względem jego środka, i tak pomniejszony dwukrotnie trójkąt przesuwamy o ½ do góry (to dodanie ½ w transformacji y-ka). Wynik tej operacji jak na powyższym obrazku. Nazwiemy tę transformację T1.

Możemy wszakże zrobić to samo przystawiając deseczkę do prawej skośnej krawędzi i upychając cały trójkąt w jego lewy róg. Wynik tej transformacji, którą oznaczymy symbolem T2, pokazuje ten obrazek.

 

 

 

Trochę nietrudnych rachunków, które pominę, prowadzi do wzoru na transformację T2

T2:

x' = x/2 – p3/4

y' = y/2 – ¼

Wreszcie, możemy upchać cały trójkąt w prawy dolny róg:

 

 

 

Będzie to nasza tranformacja T3, którą też łatwo zapisać wzorem:

T3:

x' = x/2 +p3/4

y' = y/2 – ¼

Mamy zatem trzy transformacje, każda z nich niezmiernie prosta: zmniejszyć dwukrotnie i przesunąć do rogu. Są to transformacje liniowe - nigdzie nie pojawiają się potęgi x-a czy y-ka, ani iloczyny x-a i y-ka. Trudno sobie coś prostszego wyobrazić. A jednak za chwilę otrzymamy z nich fraktal – trójkąt Sierpińskiego. Skąd się ta fraktalnośc tu weźmie? I co ma wspólnego z procesem pomiaru? O tym na końcu tej noty.

Teraz zaczyna się „gra w chaos” lub dokładniej: „iterated function system”. W skrócie IFS. Tak to się w literaturze fachowej, po dorosłemu, nazywa. Potrzebna nam będzie kość do gry. Jedna wystarczy, a nawet za dużo. Pół kości wystarczy. Najpierw losowo, na chybił trafił, zamykając oczy, wybieramy szpicem ostro zatemperowanego ołówka punkt we wnętrzu trójkąta. Odkładamy ołówek i bierzemy kość. Rzucamy. Jeśli wyszło 1 lub 2 – podajemy nasz punkt transformacji T1. Jeśli wyszło 3 lub 4 – transformacji T2, jeśli 5 lub 6, transformacji T3. Otrzymaliśmy nowy punkt. Bierzemy ołówek i ten nowy punkt znaczymy. Znów rzucamy kością, tak jak poprzednio, z tym że stosujemy wylosowaną transformację do poprzednio otrzymanego punktu. I tak dalej. Aż się z tych punktów zacznie coś układać.

Po dziesięciu rzutach nic się jeszcze nie układa:

Kontynuujemy więc do 100 razy:

 

 

 

Dalej jakoś nic nie widać. Kontynuujemy zatem do 1000 razy:

 

 

 

Coś jakby chciało wychodzić. Opuszczę obrazek z 10000 razy. Oto wynik 100000 rzutów kością:

I to jest to. Powstaje obrazek przedstawiający trójkąt Sierpińskiego. Oczywiście obrazek ten jest tylko przybliżeniem prawdziwego trójkąta Sierpińskiego. Prawdziwy trójkąt Sierpińskiego powstaje przez nieskńczony ciag operacji: wyjmujemy z wyjściowego trójkąta środkowy mniejszy trójkąt. Następnie z każdego trzech pozostałych trójkatów wyjmujemy środkowy mniejszy trójkąt, następnie .... I tak w niekończoność

Mam nadzieję, że patrząc na ostatni obrazek wiadomo o co chodzi. Pozostaje coś strasznie dziurawego. Nie ma niedziurawego kawałka. W każdym najmniejszym nawet kawałku jest nieskończenie wiele dziur. W dodatku każdy z powstałych tak podziurawionych trójkątami trójkątów jest dokładnie taki sam jak ten wyjściowy – tylko wielkością się różni. Ma jednak taką samą dziurawą strukturę. Mówimy o „samopodobieństwie”. Czy to sito, które zostało można nazwać dwuwymiarowym? Bardziej przypomina misterną koronkową serwetkę utkaną z jednowymiarowych nici. Może jest to zatem twór jednowymiarowy? Aby odpowiedziec na to pytanie trzeba by zdefiniować wymiar i umieć go policzyć. Nie tym razem.

Moje krótkie programiki w FreeBasic rysujące powyższe obrazki oraz ten realizujący grę w kośći są do wzięcia tutaj (w jednym zip-pliku). Oczywiście zamiast kości użyłem generatora liczb losowych. Jakośc generatora nie jest tu ważna. Nie jest z tych najgorszych, skoro wyszło, co miało wyjść.

Pozostaje zakończenie: jaki to ma związek z pomiarami kwantowymi? Wyobraźmy sobie, że nasz wyjściowy trójkąt, nasz placek, to zbiór wszystkich możliwych stanów układu kwantowego, powiedzmy spinu elektronu. Sposród tych wszystkich możliwych stanów interesuja nas szczególnie trzy – to punkty narożne trójkąta. Chcemy niejako zmusić nasz elektron by ujawnił w którym z tych trzech wierzchołków ma schowany swój spin – nieważne co to jest spin. Jak ktos bardzo chce wiedzieć, może poczytać Penrose'a, ten to na pewno rzecz świetnie wyjaśnił. Jak wiadomo z podręczników (np. Mister Tompkins w krainie czarów”), zmusza się elektron do ujawnienia swojego stanu przez obserwowanie go. Tego stressu elektron wytrzymać nie może i decyduje się przyjąc jakiś stan, nawet jeśli przedtem nawet mu to do głowy nie przychodziło. Tak i my robimy. W każdym z trzech wierzchołków ustawiamy obserwatora i każemy mu wytrzeszczać oczy na elektron: czy aby on przypadkiem „nie jest mój?”. Zwykła mechanika kwantowa ze szkoły takiego scenariusza nie przewiduje. Pierwsze przykazanie Heisenberga to ”nie będziesz miał więcej niż jednego obserwatora”. My się jednak nie tym nie przejmujemy, we don't need no education”. Stawiamy więc trzech obserwatorów naraz. Ot, taki mały politeizm. Elektron obserwowany na raz pod trzema różnymi katami zaczyna się nerwowo, chaotycznie miotać. Nie może się zdecydowć, którego z trzech obserwatorów wybrać. Rzuca więc kością – jak opisane wyżej. Po wybraniu obserwatora-boga, oddaje się mu w pieczę, zbliża się do niego – punt reprezentujący stan elektronu podlega jednej z transformacji T1,T2, T3. Ale elektron się tylko zblizył do swojego boga, sam jednak bogiem się nie stał. A troje oczu nadal patrzy, z tym samym natężeniem. Może do mnie? A może jednak do mnie? Skoro jesteś już tak blisko, czemu by nie bliżej? Więc elektron dalej jest nerwowy, znów losuje itd. Z tego wszystkiego powstaje schizofreniczno-psychedeliczny obraz historii jego zmagań – to fraktal, trójkąt Sierpińskiego.

Scenariusz powyższy jest tylko analogią. W mechanice kwantowej, tej z ulicy, nie tej z przyzwoitej szkoły, zbiór stanów nie jest trójkątem, transformacje sa nieco nieliniowe, a kości bardziej plastyczne. Niemniej mechanizm jest podobny. Poznamy go pod koniec tej serii. A w międzyczasie może ktoś zechce wymyślić inne zastosowanie opisanego fenomenu? Może zamiast w mechanice kwantowej można to jakoś zastosować do opisu pewnych zjawisk w psychologii czy w psychiatrii? Może jeszcze gdzie indziej?