Moje zwięzłe wprowadzenie w świat fraktali nie byłoby zadowalające gdybym nie powiązał słynnego fraktala Mandelbrota ze zjawiskiem chaosu i sztuką bifurkacji o której pisałem poprzednio. Patrząc na obrazek fraktala

[Image]

jako przygodny widz wiele nam może umknąć. I tak się dzieje w życiu. Gdy slyszymy o jakimś zdarzeniu, gdy relacja o nim jest nawet w miarę dokładna, mamy wrażenie, że „rozumiemy”. Jednak takie pasywne rozumienie zwykle rózni się istotnie od rozumienia aktywnego, kiedy to mamy za sobą doswiadczenie aktywnego udziału w relacjonowanych zdarzeniach.

By zrozumieć fraktal nie możemy oczywiście uczestniczyć w jego złożonej dynamice, przeżywać wraz z nim bifurkacje, okresy, wpadać w reżim chaotyczny. Możemy jednak powiązać to, co widzimy z tym co już wiemy, z czym już poprzednio się spotkaliśmy. I taki też jest cel tej krótkiej noty.

O bifurkacjach dyskutowaliśmy zaczynając od dynamiki populacji w ograniczonym środowisku, kiedy to dostępne są takie a nie inne zasoby. Przy niskim współczynniku rozmnażania populacja (np. królików) wymiera. Przy większym – stabilizuje się na określonym poziomie. Gdy króliki zaczynają monozyć się jeszcze bardziej następuje oscylacja pomiędzy dwoma poziomami. Jednego roku królików jest więcej, zjadają więcej niż trzeba, drugiego roku nie mają co jeść i populacja maleje by w następnym roku znów wzrosnąć. Zwiększając współczynnik mnożenia zwiększa się okres oscylacji: między czterema poziomami, ośmioma, szesnastoma itd. Przyszłość staje się czuła na stan poczatkowy populacji. Wreszcie, przy dalszym zwiększaniu współczynnika mnożenia się populacji natrafiamy na reżim chaosu. W kilku notach na ten temat rozważaliśmy równanie Verhulsta przedstawiające kolejne populacje:

x_n+1 = k x_n(1-x_n)

oraz towarzyszący temu równaniu obrazek

Jaki jest związek pomiędzy dynamiką populacji królików a fraktalem Mandelbrota? Otóż związek ten wynika z faktu, że tak w jednym jak i w drugim przypadku mamy do czynienia z dynamiką nieliniową, dokładniej: kwadratową.

Równanie Verhulsta, po rozpisaniu, wygląda tak:

x_n+1 = k x_{n –} k x_n²

Równanie dla fraktala Mandelbrota ma postać:

z_n+1 = z_n² + c

I w jednym i w drugim przypadku pojawia się kwadrat, w pierwszym przypadku kwadrat liczby rzeczywistej, w drugim przypadku kwadrat liczby zespolonej. By porównać jedno z drugim możemy ograniczyć się w naszej analizie do z_n i c rzeczywistych. Okazuje się wtedy, że przez odpowiednią zamianę zmiennych możemy przeprowadzić jedno równanie w drugie. Dla zainteresowanych: związek ten dany jest przez formuły

c = (1-(k-1)²)/4

z = k(1-2x)/2

Innymi słowy, równanie z_n+1 = z_n² + c produkuje podobną dynamikę do tej „króliczej”, tyle, że obrazek tej dynamiki się odwraca (to wynik minusa w ostatnim przekształeceniu), no i zmienia się skala.

A oto sam zbiór Mandelbrota i poniżej dynamika populacji dla równania z_n+1 = z_n² + c – przedstawione w tej samej skali.

[Image]

Widać, że pewne charakterystyki fraktala odpowiadają dokładnie charakterystykom dynamiki populacji.

Dynamika zespolona jest jednak o wiele ciekawsza od dynamiki rzeczywistej. Liczba zespolona ma bowiem także fazę. Faza dodaje nowy wymiar do głebi i złożoności zachodzących procesów. To właśnie dzięki tej fazie w mechanice kwantowej obserwujemy procesy i zjawiska nie podejrzewane w mechanice klasycznej.

Nota: Program dla FreeBasic, którego użyłem do sporządzenia wykresu dynamiki i bifurkacji równania z_n+1= z_n²+ c jest tutaj

Więcej o zbiorze Mandlbrota i dynamice zespolonej, z obrazkami, można znaleźć w witrynie Devaney'a, znanego specjalisty od tych zagadnień: