W ostatniej nocie mieliśmy do czynienia z fraktalem Mandelbrota. Można się nim bawić w nieskończoność badając coraz to nowe zakamarki, odkrywając nowe sposoby kolorowania, znajdując związki z innymi dziedzinami nauki i sztuki. Jednak zbiór Mandlbrota jest jedynie spisem treści równie nieskończonej Księgi Julii. W samej rzeczy księgę Julii odkryto wcześniej niż jej spis treści – odkryli ją w czasach I-ej Wojny Światowej dwaj francuscy matematycy: Gaston Julia i Pierre Fatou, w dodatku bez używania komputerów. Mandelbrot zaprzągł do pracy komputer i sporządził spis treści.
W czym rzecz? Rysując fraktal Mandelbrota iterowaliśmy transformację
T(z) = z2 + c
dla różnych c, zaczynając za każdym razem od tego samego z, mianowicie z = 0. Jeśli transformowane w ten sposób wielokrotnie (czytaj : nieskończenie wiele razy) z pozostawało w zaczarowanym kole o promieniu 2, zaliczaliśmy je do zbioru Mandelbrota, kolorowaliśmy na czarno. Brzeg zbioru Mandelbrota jest fraktalem – jest strasznie pozawijany i kryje w sobie nieskończenie wiele różnych kształtów. Różnorodności tej nie ma końca.
Dlaczego jednak mamy startować zawsze od punktu z = 0? Przecież jest nieskończenie wiele innych zetów od których można startować! Używając przenośni – z=0 to tylko pierwszy akapit, nagłówek całego rozdziału c. A gdzie reszta tego rozdziału? Reszta tego rozdziału to wszystkie pozostałe punkty startowe z, z zaczarowanego koła. By przeczytać rozdział c, ustalamy c i jedziemy po wszystkich zetach działając na każdy z nich transformacją T. Jedne z nich wkrótce uciekną, inne nie. Te które nie uciekną tworzą zbiór Julii dla danego c. Ten zbiór możemy jakoś starać się przedstwić graficznie. Robi to prosty program – niewielka modyfikacja programu rysującego zbiór Mandelbrota.
Oczywiście moglibysmy wziąc c nie należące do spisu treści, do zbioru Mandelbrota. Gdy c jest na pewno w zbiorze Mandelbrota, np. dla Re(c)=0, Im(c)=1, otrzymujemy taki obrazek zbioru Julii - podobny do błyskawicy:
Punkt c poza zbiorem Mandelbrota, np c = 0.01+j daje jakościowo co innego:
Widać, że zbiór Julii się poprzerywał na oddzielne kawałki, stał się niespójny. Można udowodnić, że zbiór Julii jest spójny wtedy i tylko wtedy gdy punkt c należy do zbioru Mandelbrota. I od tego zresztą zaczęła się cała przygoda.
Dalej będziemy się zajmować tylko zbiorami Julii z katalogu Mandelbrota. Najlepiej zacząć od c=0. W tym przypadku nasz ciąg iteracji to z2, z4,z8, z16, ... . Przy podnoszeniu do potęgi długości wektora przedstawiającego z podnoszą się do tej samej potęgi. Jeśli zatem |z| jest mniejsza lub równa od jeden, to pod podniesieniu do dowolnej dodatniej potęgi taką pozostanie. Jęsli jest choć trochę większa od jedynki, to przy dostatecznej liczbie iteracji wyskoczy poza zaczarowane koło o promieniu w. Stąd zbiorem Julii będzie koło o promieniu 1. A tak to wygląda na komputerowym obrazku:
Jak zaćmienie Słońca.
Dla z = -0.80315+0.17919j otrzymujemy inny kształt.
Internet pełen jest programów rysujących zbiory Mandelbrota i Julii przy użyciu róznych algorytmów, róznych metod kolorowania, dla innych transformacji, w trzech i w czterech wymiarach, dla liczb zespolonych i dla kwaternionów. Istnieje cała obszerna nauka zajmująca się rozumieniem tego, co tam zachodzi, a zachodzą ciekawe rzeczy, bowiem istnieją związki z teoria liczb, z elektrostatyką, z transformacjami konforemnymi, analizą zespoloną, dynamika nieliniową itd. Nie chcę w to wchodzić, bowiem moglibyśmy nigdy już poza to nie wyjść – a mam inne plany.
Kto się chce pobawić – do sciągnięcia jest mój mini-program myjulia.bas przy pomocy którego produkowałem powyższe obrazki. Przeznaczony dla FreeBasic, ale łatwy do zaadaptowania na inne języki programowania. W programie tym jako komentarze są dane dla innych wartości c, które badałem.
O co się można w tym programie łatwo przyczepić, to metoda kolorowania. Aby otrzymać przy tej metodzie własciwy obraz trzeba dobrać maksymalną liczbę itaracji dla danej rozdzielczości. Za mało iteracji – mało szczegółów widocznych. Za dużo interacji – obrazek robi się całkiem czarny.
